江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期1月期末教学质量调研数学试题

2022－2023学年度高三年级第一学期期末教学质量调研数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．2≤1．设集合Axx2x30，Bxylog2xa，若AB，则实数a的取值范围为()A．3，B．1，3C．，1D．，12．已知复数z满足1iz3i，则z的虚部为()A．1B．1C．iD．i3．设等比数列an的前n项和为Sn，已知a13，S63S3，则a7()A．6B．12C．18D．484．已知向量a，b满足ab3，a2baa，则a()A．5B．1C．2D．30.22115．设a，b，csin，则()log2322A．cbaB．bacC．cabD．bcaπ6．已知函数fx3sinx0的图象向左平移0个单位长度后与其导函6数yf'x的图象重合，则f的值为()363A．0B．C．D．2227．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，高三数学第1页共6页如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如11，242，5225都是回文数，则用0，1，2，3，4，5这些数字构成的所有三位数的回文数中能被3整除的个数是()A．8B．10C．11D．13x2y28．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1ab0的左，右焦点分别是F1，a2b2F2，点P是椭圆C上一点，点Q是线段PF1靠近点F1的三等分点，若OP⊥OQ，则椭圆C的离心率的取值范围是()1，2，1，33，A．1B．1C．D．122222二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列统计量中，用于测度样本的集中趋势的有()A．中位数B．平均数C．众数D．标准差10．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则()A．事件A1，A2为互斥事件B．事件B，C为独立事件23C．PBD．PCA524，11．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设BPBD1，其中01，则()A．PC1⊥A1DπB．PA1与平面ABD1所成角的最大值为31C．若，则平面PAC∥平面A1C1D22D．若△PAC为锐角三角形，则，13高三数学第2页共6页12．设定义在R上的函数fx与gx的导数分别为fx与g'x，已知fxg3x1，f'x1g'x，且f'x关于直线x1对称，则下列结论一定成立的是()A．fxf2x0B．f'20C．g1xg1xD．g'xg'2x0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．n113．已知2x的展开式中各二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为_____．x214．已知抛物线y2pxp0的焦点为F，过F且斜率为3直线与抛物线在第一象限交于点A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为M，若△AMF的面积为43，则p_______．x22axa，x≤0，15．已知函数fx恰有三个零点，则实数a的取值范围是_______．lnxax，x016．在平行四边形ABCD中，AB1，AD5，AB⊥BD，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P－BD－C的大小为120°，则四面体PBCD的外接球的表面积为_____．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．aa1①a22a4S1；②n1n．nnnn1nnn1已知Sn为数列an的前n项和，满足a11，an0，_____．（1）求数列an的通项公式；（2）设bnSncosnπ，求数列bn的前2n1项和T2n1．高三数学第3页共6页18．(本小题满分12分)为了进一步加快推进学生素质教育，丰富学生的课余生活，挖掘学生的动手动脑潜力，学校在高一年级进行了一次“变废为宝”手工作品评比，对参赛作品进行统计得到如下统计表：不合格合格合计女生120100220男生305080合计150150300（1）运用独立性检验的思想方法判断：能否有99%以上的把握认为性别与作品是否合格有关联？并说明理由．（2）学校为了鼓励更多的同学参与到“变废为宝”活动中来，决定通过3轮挑战赛评选出一些“手工达人”，3轮挑战结束后，至少2次挑战成功的参赛者被评为本学期的“手工311达人”．已知某参赛者挑战第一、二、三轮成功的概率分别为，，，求该参赛者在本423学期3轮挑战中成功的次数X的概率分布及数学期望E(X)．2nadbc参考公式：2，nabcd．abcdacbd2≥Px00.0250.0100.0050.001x05.0246.6357.87910.828高三数学第4页共6页19．(本小题满分12分)在△ABC中，∠ACB的平分线CM与边AB交于点M，且AM＝CM＝1．π（1）若A，求△ABC的面积S；6（2）求AMMCBM的最小值．20．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1C＝A1B，平面A1BC⊥平面ABC，M是棱B1C1的中点．（1）证明：AC1∥平面A1BM；3（2）若四棱锥A1－BCC1M的体积为，求二面角A1－BM－C的余弦值．2C1MA1B1CAB高三数学第5页共6页21．(本小题满分12分)2在平面直角坐标系xOy中，已知圆E：x2y24和定点F2，0，P为圆E上的动点，线段PF的垂直平分线与直线PE交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴正半轴交于点A，过点T(t，0)(－1＜t＜1)的直线l与曲线C交于点M，N（异于点A），直线MA，NA与直线x＝t分别交于点G，H．若点F，A，G，H四点共圆，求实数t的值．22．(本小题满分12分)已知函数fxalnx，gxx1ex，其中a为实数．（1）若函数fx，gx的图象在x1处的切线重合，求a的值；（2）若ae，设函数hxfxgx的极值点为x0．1求证：①函数hx有两个零点x1，x2(x1＜x2)；②3x0x1x2．高三数学第6页共6页2022－2023学年度高三年级第一学期期末教学质量调研数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．题号12345678答案CABDADBA二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．题号9101112答案ABCACDABDBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．题号131415161答案602−，08πe四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)22【解】（1）选①，aaSnnn+=−241，则aaSnnn+1+1+1+=−241，2222故aaaaannnnn+1+1+1−−+22=4，即aaaannnn+1+1−+=2()，因an0，aann++10，所以aann+1−=2为定值，故数列an是首项a1=1，公差为d=2的等差数列，所以an=−21n．……………………5分aa1aa11选②，因为nn+1−=，故nn+1−=−，n++11nn(n)n++11nnn第1页共10页aa++11a+1所以nn+1=，故数列n是常数列，nn+1na+1a+1所以n==12，故a=−21n．……………………5分n1n2（2）由（1）知an=−21n，Snn=，22n故bnnnn==−cosπ(1)，2222212n−所以Tn21n−=−+−+−+−−1234121()()=−−+−+−−−+−123452221()()(nn)()=−−+++++12345(2nn−+2)(2−1)(22221nn−+−)()=−−12=−+2nn2．……………………10分18．(本小题满分12分)【解】（1）提出假设H0：性别与作品合格与否无关．300(1205030−100)22=6.8186.635，150150220802当H0成立时，P(≥6.6350.01)=，所以有99%的把握认为性别与作品是否合格有关．……………………5分（2）X的所有可能值分别为0，1，2，3．1121PX(===0)，423123121121113PX(==++=1)，42342342383123111115PX(=2)=++=，423423423123111PX(===3)．……………………9分4238故X的概率分布为X01231351P128128第2页共10页135119EX()=+++=0123，……………………11分1281281219所以参赛者在3轮挑战中成功的次数X的数学期望为次．12……………………12分19．(本小题满分12分)ππ【解】（1）在△AMC中，AM＝CM＝1．A=，所以ACM=，66又CM是∠ACB的平分线，ππ所以ACBACM=2=，BCM=，36π故B=−π−AACB=，2π在Rt△CBM中，CM＝1，BCM=，613故BM=，BC=，22111333所以△ABC的面积SABBC==+=1．22228……………………5分（2）设=A，则=ACMBCM=，=CMB2，=−Bπ3，0π，π所以02π，解得0，……………………7分30−π3π，BMCM在△CBM中，据正弦定理，得=，sinsinBCMBsinsinsinBCM得BMCM===，sinsinB(π−3sin3)所以AMMC+BM=AMMCcosCMB+BMsinsin=+=+cos2cos2sin3sincos2cossin2+sin=+cos2sincos2+2sinsin211=cos2+=cos2+cos2++2cos22cos212cos2+111=+−……………………10分2cos2+12第3页共10页2cos2111+1≥2−=−2，2cos212+22cos211+12+当且只当=，即cos=时，不等式取等号．22cos21+21所以AMM+CBM的最小值为2−．……………………12分220．(本小题满分12分)【解】（1）连接AB1交A，B于N，连接MN．在三菱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1平行四边形，C1又AB11ABN=，所以N是