第八章 解析几何（直线与圆、圆锥曲线）-备战2024年高考数学专题测试模拟卷（新高考专用）（解析卷）

备战2024年高考阶段性检测名校重组卷（新高考）解析几何本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·广东·高三统考模拟预测）设，则“”是“直线与直线平行”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与直线平行，则，解得或，经检验或时两直线平行．故“”能得到“直线与直线平行”，但是“直线与直线平行”不能得到“”故选：A2.(2023·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2),F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为( )A.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,60)＝1 B.eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,60)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1【答案】 D【解析】 由题意|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝2eq\r(3)，焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.3．（2023·广东江门·统考模拟预测）若直线与圆相交于P，Q两点，且（其中O为坐标原点），则b的值为（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】，圆的半径为1，，圆心到直线的距离，，解得.故选：C4．(2023·昆明模拟)已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，则△F1MN的周长为( )A．2B．4C．6D．8【答案】 D【解析】 由eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1得a＝2.因为M，N是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的焦点，所以|MF1|＋|MF2|＝2a，|NF1|＋|NF2|＝2a，因此△F1MN的周长为|MF1|＋|MN|＋|NF1|＝|MF1|＋|MF2|＋|NF2|＋|NF1|＝2a＋2a＝4a＝8.5．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，，垂足为，与轴交点为，若，且的面积为，则的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由抛物线定义知，所以为等边三角形，为的中点，所以，，的面积，所以的方程为.故选：A.6．（2023·江苏·统考三模）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则PQ＋PF的最大值为（    ）A．3 B．6C． D．【答案】D【详解】圆M：的圆心为，设椭圆的左焦点为，如下图，由椭圆的定义知，，所以，所以，当且仅当三点在一条直线上时取等，，，，.故选：D．7．（2023·浙江·统考二模）已知是圆上一点，是圆的直径，弦的中点为.若点在第一象限，直线、的斜率之和为0，则直线的斜率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可得圆的方程，设直线的斜率为，则直线的方程为，代入圆的方程可得的坐标，从而可得的坐标，于是根据斜率关系可解得的值，由于点在第一象限，对的值进行取舍，即可得所求.【详解】已知是圆上一点，所以设直线的斜率为，则直线的方程为，所以，则，恒成立，所以由于，所以，则，由于是圆的直径，所以，则弦的中点为坐标为因为直线、的斜率之和为0，所以，整理得解得或，又点在第一象限，所以，故，即直线的斜率是.故选：C.8.(2022·济南模拟)已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是( )A．|M1M2|·|M3M4| B．|FM1|·|FM4|C．|M1M3|·|M2M4| D．|FM1|·|M1M2|【答案】 A【解析】 如图，分别设M1，M2，M3，M4四点的横坐标为x1，x2，x3，x4，由y2＝4x得焦点F(1,0)，准线l0：x＝－1，由定义得，|M1F|＝x1＋1，又|M1F|＝|M1M2|＋1，所以|M1M2|＝x1，同理|M3M4|＝x4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)，设M1(x1，y1)，M4(x4，y4)，则x1x4＝1，即|M1M2|·|M3M4|＝1.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·广东肇庆·统考一模）已知圆，直线，则（    ）A．直线过定点B．直线与圆可能相离C．圆被轴截得的弦长为D．圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为【答案】AC【解析】直线，由，得，即l恒过定点，故A正确；点与圆心的距离，故直线l与圆C恒相交，故B错误；令，则，可得，故圆C被y轴截得的弦长为，故C正确；要使直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，所以直线l的斜率，可得，故直线l为，故D错误．故选：AC．10．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知抛物线：的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线上，直线与抛物线交于点，则（   ）A．的准线方程为 B．C．直线的斜率为 D．【答案】CD【详解】由题意可知，，得，则抛物线方程为，所以抛物线的准线方程为，故A错误；抛物线的焦点，，则直线的方程为，与抛物线方程联立，得，设，，，则，故B错误，C正确；，得或，当时，，当时，，即，，，故D正确.故选：CD11.．(2023·湖北四地联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(eq\r(2)，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则( )A．椭圆C的离心率的取值范围是B．当椭圆C的离心率为eq\f(\r(3),2)时，|QF1|的取值范围是[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]C．存在点Q使得eq\o(QF1,\s\up6(—→))·eq\o(QF2,\s\up6(—→))＝0D.eq\f(1,|QF1|)＋eq\f(1,|QF2|)的最小值为1【答案】 BCD【解析】 由题意得a＝2，又点P(eq\r(2)，1)在椭圆C外，则eq\f(2,4)＋eq\f(1,b2)>1，解得b<eq\r(2)，所以椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4－b2),2)>eq\f(\r(2),2)，即椭圆C的离心率的取值范围是，故A不正确；当e＝eq\f(\r(3),2)时，c＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝1，所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]，故B正确；设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，由于eq\o(AF1,\s\up6(—→))·eq\o(AF2,\s\up6(—→))＝b2－c2＝2b2－a2<0，所以存在点Q使得eq\o(QF1,\s\up6(—→))·eq\o(QF2,\s\up6(—→))＝0，故C正确；(|QF1|＋|QF2|)＝2＋eq\f(|QF2|,|QF1|)＋eq\f(|QF1|,|QF2|)≥2＋2＝4，当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立，又|QF1|＋|QF2|＝4，所以eq\f(1,|QF1|)＋eq\f(1,|QF2|)≥1，故D正确．12．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知双曲线C的左､右焦点分别为，，双曲线具有如下光学性质：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为，则下列结论正确的有（    ）A．双曲线C的方程为B．若，则C．若射线n所在直线的斜率为k，则D．当n过点M（8，5）时，光由所经过的路程为10【答案】AC【详解】对于A，由题意可知，因为双曲线C的一条渐近线的方程为，所以，即，所以双曲线的方程为故A正确；对于B，由，得，解得，在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，，即，解得，故B错误；对于C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为，由双曲线的性质可得射线所在直线的斜率范围为，故C正确；对于D，由题意可知，，当过点时，由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D错误.故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·浙江台州·统考二模）已知椭圆经过点和，则椭圆的离心率为___________.【答案】/0.5【分析】通过已知两个点求出椭圆方程即可得到离心率.【详解】将两个点代入椭圆方程得：，解得，故.故答案为：14．（2023·浙江·统考二模）已知圆，若被两坐标轴截得的弦长相等，则__________.【答案】/【分析】被两坐标轴截得的弦长相等，则圆心到两坐标轴的距离相等，即圆心的横纵坐标的绝对值相等可得答案.【详解】圆的弦长为（为圆的半径，为圆心到弦的距离），若被两坐标轴截得的弦长相等，则圆心到两坐标轴的距离相等，即圆心的横纵坐标的绝对值相等，即，解得.故答案为：.15.(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为eq\f(π,6)的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．【答案】 64【解析】 方法一 (常规解法)依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4,0)，直线l的方程为x＝eq\r(3)y＋4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)y＋4，,y2＝16x，))消去x，整理得y2－16eq\r(3)y－64＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝16eq\r(3)，y1y2＝－64.S△OAB＝eq\f(1,2)|y1－y2|·|OF|＝2eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝2eq\r(16\r(3)2－4×－64)＝64.方法二 (活用结论)依题意，抛物线y2＝16x，p＝8.又l的倾斜角α＝eq\f(π,6).所以S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)＝eq\f(82,2sin \f(π,6))＝64.16．（2023·辽宁大连·统考三模）已知为坐标原点，是双曲线的左､右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的渐近线方程为__________.点A是双曲线上一定点，过点的动直线与双曲线交于两点，为定值，则当时实数的值为__________.【答案】【详解】（1）根据，取的中点，易知，可知，，即△为直角三角形.设，依题意有，解得，根据勾股定理得，解得，故双曲线为等轴双曲线，渐近线为.（2）当时，双曲线，设直线，联立方程组，化简得，，，因为为定值，所以法一：，，，解得，法二：，解得.故答案为：，四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(2023·衡水模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(\r(2),2)，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．【解析】 (1)因为离心率e＝eq\f(c,a)＝e