第二讲 两直线的位置关系（原卷版）

第二节两直线间的位置关系知识框架知识点归纳1.两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线)的位置关系如下表：位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行k1＝k2且b1≠b2垂直A1A2＋B1B2＝0相交k1≠k22.直线的交点与方程组解的关系(1)两直线的交点点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.(2)两直线的位置关系与方程组解的关系方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组直线l1与l2的公共点的个数一个零个直线l1与l2的位置关系重合3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝.4.对称问题(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′.(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.[常用结论]对于直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0：(1)“两直线平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”；(2)“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”.题型归类题型一两直线的平行与垂直例1已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1⊥l2时，求a的值.感悟提升 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.题型二两直线的交点与距离问题例2(1)直线l经过原点，且经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为________________.(2)已知直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________.感悟提升 (1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.题型三对称问题角度1 关于点对称例3过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________.角度2 关于线对称例4(1)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.(2)在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点.光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示).若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为________.感悟提升 对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.题型四直线系方程的应用角度1 与平行、垂直有关的直线系例5(1)过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为________________.(2)经过点A(2，1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________________.角度2 过两直线交点的直线系例6已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.感悟提升 几种常见的直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m≠C).(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0.(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.课时训练一、单选题1．若直线a，b的斜率分别为方程x2－4x－1＝0的两个根，则a与b的位置关系为( )A.互相平行 B.互相重合C.互相垂直 D.无法确定2．已知直线，直线的交点为A，O为坐标原点，则点A到原点的距离AO的长度为（   ）A．1 B．2 C． D．3．点(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为( )A．1 B．2 C． D．4．已知是直线：上一动点，、是圆：的两条切线，切点分别为、，若四边形的最小面积为，则（   ）A． B． C． D．5．过定点的直线与过定点的直线交于点，则的值为（    ）A． B． C． D．6．设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（）①不论为何值，点都不在直线上；②若，则过的直线与直线相交；③若，则直线经过的中点.A．0个 B．1个C．2个 D．3个.二、多选题7．“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为．若点，Q是圆上任意一点，则的取值可能为（    ）A．4 B．3 C．2 D．18．已知圆与直线，则下列说法中正确的是（    ）A．若直线与圆相交，则B．若直线与圆相切，则切线长为4C．当直线与圆的相交弦最长时，D．当圆心到直线的距离取最大值时，三、填空题9．已知抛物线，若点到其焦点的距离是5，则___________.10．已知直线l经过2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，则点A(5,0)到l的距离的最大值为________．11．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线相交于P点（点P与点不重合），则的面积的最大值为_________．12．已知点P是x轴上的任意一点，，，则的最小值为_________.四、解答题13．求过点，圆心在直线上，且与直线相切的圆的方程．14．求直线关于直线对称的直线的一般式方程.已知A（3，1），B（-1，2），若的平分线在上，求AC所在的直线方程．16．已知的顶点，AB边上的高所在的直线方程为．(1)求直线AB的方程；(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．①角A的平分线所在直线方程为②BC边上的中线所在的直线方程为______，求直线AC的方程．