第六节 双曲线方程与性质(原卷版)

2023-11-27 · 15页 · 620.6 K

第六节双曲线的方程与性质知识框架知识点归纳1.双曲线的定义(1)平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.(2)其数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.①若ac,则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,b2)=1(a>0,b>0)图形性质范围x≥a或x≤-a,y∈R对称性对称轴:;对称中心:顶点A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±eq\f(b,a)x离心率实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长度|A1A2|=2a;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长a,b,c的关系[常用结论]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a).2.离心率e=eq\f(c,a)=eq\f(\r(a2+b2),a)=eq\r(1+\f(b2,a2)).3.若渐近线方程为y=±eq\f(b,a)x,则双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=λ(λ≠0).4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.5.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=c+a,|PF2|min=c-a.6.焦点三角形的面积:P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为eq\f(b2,tan\f(θ,2)).题型归类题型一双曲线的定义及应用例1(1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为________.感悟提升 在焦点三角形中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.题型二双曲线的标准方程例2(1已知双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的焦距为2eq\r(5),点P(2,1)在C的一条渐近线上,则C的方程为( )A.x2-eq\f(y2,4)=1 B.eq\f(x2,4)-y2=1C.eq\f(3x2,20)-eq\f(3y2,5)=1 D.eq\f(x2,16)-eq\f(y2,4)=1答案 B(2)(2023·潍坊调研)已知双曲线的离心率e=eq\f(\r(5),2),且该双曲线经过点(2,2eq\r(5)),则该双曲线的标准方程为________________.感悟提升 1.用待定系数法求双曲线的标准方程时,先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为eq\f(x2,m2)-eq\f(y2,n2)=λ(λ≠0)或mx2-ny2=1(mn>0),再根据条件求解.2.与双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=λ(λ≠0).题型三双曲线的简单几何性质角度1 渐近线例3(1)(2023·许昌模拟)已知双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的离心率为eq\r(5),则双曲线C的渐近线方程为________.(2)(2023·重庆诊断)设双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C及其渐近线在第一象限分别交于A,B两点,O为坐标原点,若eq\o(OA,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(OF,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))),则双曲线C的渐近线方程为________________.角度2 离心率例4(1)(2023·沈阳调研)已知O为坐标原点,双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A(a,b),若|OA|=|FA|,则双曲线C的离心率为( )A.2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.eq\f(\r(5)+1,2)(2)(2023·烟台调研)已知F1,F2分别是双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点,若sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,则双曲线C的离心率的取值范围为________.感悟提升 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法:(1)直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的渐近线可由eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=0即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)=0.训练3(1)(2023·武汉调研)如图,已知F为双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦点,平行于x轴的直线l分别交C的渐近线和右支于点A,B,且∠OAF=90°,∠OBF=∠OFB,则C的渐近线方程为________.(2)已知双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦点为F,A,B分别为双曲线的左、右顶点,以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一、二象限分别交于P,Q两点,若OQ∥PF(O为坐标原点),则该双曲线的离心率为________.题型四双曲线几何性质的综合应用例5(1)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=36的左、右焦点,A是双曲线C右支上(顶点除外)任意一点,若∠F1AF2的角平分线与以AF1为直径的圆交于点B,则△BF1F2的面积的最大值为( )A.18eq\r(2) B.18eq\r(3)C.36eq\r(2) D.36eq\r(3)(2)(2022·上海春季高考)已知双曲线Γ:eq\f(x2,a2)-y2=1(a>0),任取双曲线Γ右支上两个不相同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),都有x1x2-y1y2>0成立,则实数a的取值范围是________.感悟提升 1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识面较宽,如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识,在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.题型五椭圆与双曲线的常用二级结论1.椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=acosθ,,y=bsinθ.))2.(1)椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)焦半径公式|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,F1,F2分别为左、右焦点.(2)双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a,b>0)的焦半径公式|PF1|=|ex0+a|,|PF2|=|ex0-a|.3.双曲线的渐近线的相关结论(1)若双曲线的渐近线方程为y=±eq\f(b,a)x(a>0,b>0),即eq\f(x,a)±eq\f(y,b)=0,则双曲线的方程可设为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=λ(λ≠0).(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.(3)双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的渐近线y=±eq\f(b,a)x的斜率k与离心率e的关系:e=eq\r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))=eq\r(1+k2).4.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论(1)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)中①当P为短轴端点时,θ最大.②S=eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ=b2taneq\f(θ,2)=c|y0|,当|y0|=b时,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.③焦点三角形的周长为2(a+c).(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则S△PF1F2=eq\f(b2,tan\f(θ,2)),其中θ为∠F1PF2.例(1)双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±2x,则该双曲线的离心率为( )A.5 B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\r(5)[优解]由双曲线的渐近线方程为y=±2x,可知渐近线的斜率k=±2.根据结论(3),得e=eq\r(1+k2)=eq\r(1+4)=eq\r(5).(2)椭圆eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1的焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是( )A.eq\f(16\r(3),3) B.eq\f(32\r(3),3)C.16eq\r(3) D.32eq\r(3)答案 A解析 [通法]由椭圆eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1的焦点为F1,F2知|F1F2|=2c=6,在△F1PF2中,不妨设|PF1|=m,|PF2|=n,则|PF1|+|PF2|=m+n=2a=10.由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,即(2c)2=m2+n2-2mncos60°,即36=(m+n)2-3mn=100-3mn,解得mn=eq\f(64,3).所以S△F1PF2=eq\f(1,2)·|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=eq\f(1,2)mnsin60°=eq\f(16\r(3),3).[优解]训练(1)经过点M(2eq\r(3),2eq\r(5))且与双曲线eq\f(x2,3)-eq\f(y2,2)=1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.eq\f(x2,18)-eq\f(y2,12)

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