专题12 焦点三角形的面积公式（解析版）

专题12焦点三角形的面积公式一、结论1、椭圆中焦点三角形面积公式x2y2在椭圆1(ab0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,F1PF2,PF1F2的面a2b2积记为S，则：PF1F21①S|FF||y|c|y|PF1F2212pp1②S|PF|||PF|sinPF1F22122③Sbtan,其中F1PF2.PF1F222、双曲线中焦点三角形面积公式x2y2在双曲线1(a0,b0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,F1PF2，a2b2PFF的面积记为S，则：12PF1F21①S|FF||y|c|y|PF1F2212pp1②S|PF|||PF|sinPF1F2212b2S③PF1F2tan2注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定理，基本不等式等综合应用.二、典型例题x2y2例题1．（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知椭圆C:1的两焦点126分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且F1PF260，则F1PF2的面积等于（）．A．6B．23C．43D．63【答案】B【详解】由与P是椭圆上一点，∴PF1PF22a43，2222两边平方可得PF1PF22PF1PF248，即PF1PF2482PF1PF2，PF2PF224112由于F1PF260，F1F22c26，∴根据余弦定理可得，22PF1PF21综上可解得PFPF8，∴△FPF的面积等于PFPFsin6023，1212212故选：B22另解：根据焦点三角形面积公式，求Sbtan,其中F1PF2，由题意知b6，，代PF1F223入Sb2tan6tan23PF1F226【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，Sb2tan要特别注意记忆PF1F222F1PF2表示的是哪个角.另外利用结论Sbtan求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答PF1F22题需先证后用.x2y2例题2．（2021·高二课时练习）已知双曲线1的左右焦点分别为F1,F2，若双曲线上一点P使得97F1PF260，求△F1PF2的面积（）73143A．B．C．73D．14333【答案】Cx2y2【详解】1，所以a3，b7，c4，97P在双曲线上，设PF1m，PF2n，mn2a6①由F1PF260，在△F1PF2根据余弦定理可得:222F1F2PF1PF22PF1PF2cos60故64m2n2mn②由①②可得mn28，11直角△F1PF2的面积SPFPFsinFPFmnsin6073F1PF2212122故选：C.b2SPF1F22另解：根据焦点三角形面积公式，求,其中F1PF2，由题意知b7，，代入tan32b277S73PF1F2tantan3233【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，b2S在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，PF1F2要特别注意记忆FPFtan122b2S表示的是哪个角.另外利用结论PF1F2求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后用.tan2x2y2例题3．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线C：1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，Fa2b212离心率为5．P是C上一点，且F1PF2P．若PF1F2的面积为4，则a=（）A．1B．2C．4D．8【答案】Ac【详解】5，c5a，根据双曲线的定义可得PFPF2a，a121S△|PF|PF4，即|PF1|PF28，PF1F2212FPFP22212，|PF1|PF22c，2222PF1PF22PF1PF24c，即a5a40，解得a1，故选：A.2另解：根据焦点三角形面积公式，求Sbtan,其中F1PF2，由题意知SPFF4，，PF1F22122c代入Sb2tan4b2tanb24，又离心率5，结合c2a2b2，可求出a1.PF1F224a【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，Sb2tan要特别注意记忆PF1F222F1PF2表示的是哪个角.另外利用结论Sbtan求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答PF1F22题需先证后用.三、针对训练举一反三x2y21．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆1的焦点为F1、F2，P为椭圆上的一点，若F1PF260，259则△F1PF2的面积为（）A．3B．9C．33D．93【答案】C【详解】根据椭圆的定义有PF1PF210,c2594，①22根据余弦定理得64PF1PF22PF1PF2cos60，②113结合①②解得PF1PF212，所以△F1PF2的面积SPFPFsin601233．21222故选:Cx2y22．（2019秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考期中）设F,F是椭圆1的两个焦点，点M在122516椭圆上，若△MF1F2是直角三角形，则△MF1F2的面积等于（）483648A．B．C．16D．或16555【答案】D【详解】依题意，a5,b4,c3，不妨设F13,0,F3,0，对于直角三角形MF1F2，π若FMF，122PF1PF22a10由，整理得PFPF3222212,PF1PF24c361所以SPFPF16.MF1F2212若MF1F2或MF2F1为直角，22256163yM2由1得yM,yM，2516255111648所以SFFy6.MF1F2212M25548所以，△MFF的面积等于或16.125故选：Dx2y23．（2022秋·江苏南京·高二统考阶段练习）设点P为椭圆C:（1a2)上一点，F1，F2分别为C的a24左、右焦点，且F1PF260，则△PF1F2的面积为（）4323A．43B．23C．D．33【答案】C【详解】设PF1s,PF2t，根据椭圆的定义以及余弦定理得st2a22222，2c4c4a4st2stcos601616整理得st，即PFPF，312311643所以△PF1F2的面积为sin60.233故选：Cx2y224．（2022·高二课时练习）已知点P在椭圆1上，F1与F2分别为左右焦点，若FPF，则164123△F1PF2的面积为()A．43B．63C．83D．16【答案】A【详解】由椭圆的定义，设PF1x，则PF28x，F1F243，2x2(8x)2(43)21又FPF，所以cosFPF，解得x4，123122x(8x)2113所以PF14，PF24，SPFPFsinFPF4443.F1PF22121222故选：A.x2y25．（2021秋·江苏南京·高三金陵中学校考阶段练习）已知双曲线C:1(a0,b0)的左焦点为F，直a2b23线ykx与双曲线C交于A，B两点（其中点A位于第一象限），AFB90，且FAB的面积为a2，则2直线AF的斜率为（）1212A．B．C．D．3322【答案】A【详解】设双曲线右焦点为F2，连接AF2,BF2，由图形的对称性知AFBF2为矩形，则有|AF|AF22a，2|AF|AF23a，1∴|AF|3a,AFa，在RtAFF中，ktanAFF，22AF23故选:A．x2y26．（2020秋·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知双曲线1a0,b0的一条渐近线方程y2x，a2b2且点P为双曲线右支上一点，且F1,F2为双曲线左右焦点，F1F2P的面积为3，且F1PF260，则双曲线的实轴的长为（）A．1B．2C．4D．43【答案】Ax2y2b【详解】双曲线1的渐近线方程为yxa2b2a由一条渐近线方程为y2x,可得b2a,由双曲线定义有PF1PF22a,两边平方得222PF1PF22PF1PF24a222由余弦定理，有F1F2PF1PF22PF1PF2cos60222即为PF1PF2PF1PF24c222联立可得PF1PF24c4a4b113FFP的面积为可得22123,PF1PF2sin604b3b32221解得b1,a，所以双曲线的实轴的长2a1.2故选：Ax2y27．（2022秋·湖南怀化·高二校考阶段练习）椭圆1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足10064FPF60，则S（）12F1PF216364643913A．B．C．D．3333【答案】Cx2y2【详解】解：解：椭圆1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足F1PF260，10064由椭圆定义得：|PF1||PF2|20，22|PF1||PF2|2|PF1||PF2|400，①22由余弦定理得：|PF1||PF2|2|PF1||PF2|cosF1PF2436，②256联立①②，得：|PF1||PF2|，31643∴SPFPFsin60，F1PF22123故选：C.x2y28．（2020·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，P是椭10064圆上任意一点，若FPF，则△F1PF2的面积为（）123646431281283A．B．C．D．3333【答案】B【详解】由题意知：F1，F2为椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，所以△FPF是焦点三角形，且b264，，1233643所以Sb2tan64，F1PF2233故选：B2x29．（2020秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知F1、F2为双曲线C:y1的左、右焦点，点P在C上，3F1PF260，则△PF1F2的面积为（）33A．3B．C．D．2332【答案】Ax2【详解】双曲线C:y21，则a23,b21，所以c2a2b24，322则PF1PF22a23，平方得PF1PF2122PF1PF2，且F1F22c4，222PF1PF2FF2122PF1PF2161由余弦定理cosF1PF2，即cos60，2PF1PF22PF1PF22解得PF1PF24，113则SPFPFsin6043.PF1F221222故选：A.x2y210．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线1的左、右集点分别为F1、F2，若双曲线上点P使916F1PF290，则△F1PF2的面积是（）A．12B．16C．24D．32【答案】B【详解】由双曲线方程可知，a3,b4，所以ca2b25，设双曲线的左右焦点分别为F1,F2,|PF1|m,|PF2|n，由双曲线定义可得|mn|2a6，F1PF290，102m2n2(mn)22mn622mn，mn32，11Smn3216.VF1PF222故选：B22y11．（2022·全国·高三专题练习）设F1，F2为双曲线x1的两个焦点，点P在双曲线上且满足4F1PF290，则△F1PF2的面积为（）A．