专题15 排列组合（6大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错

专题15排列组合易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）相邻问题技巧总结相邻问题1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算.2、解题步骤：第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数第二步：求出其余元素的排列种数第三步：求出总的排列种数易错提醒：排列组合实际问题主要有相邻问题和不相邻问题。（1）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）；（2）不相邻（相间）问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）；例、现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相邻的排法有（）A．种B．种C．种D．种易错分析：本题易出现的错误是把“甲、乙、丙3人不能相邻”理解为“甲、乙、丙3人互不相邻”的情况，使结果中遗漏甲、乙、丙3人中有两人相邻的情况．正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙3人不相邻的方法数，即，故选B．易错警示：处理相邻问题的基本方法是“捆绑法”，即把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个元素，然后与其余元素全排列，最后“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．处理不相邻问题的基本方法是“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后把有限制条件的元素变式1：加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有（       ）种加工方法．A．24 B．32 C．48 D．64解：工序A，B必须相邻，可看作一个整体，工序C，D不能相邻，所以先对AB，E工序进行排序，有种方法，AB内部排序，有种方法，排好之后有三个空可以把工序C，D插入，共种情况，所以一共有种可能性故选：A变式2：中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（       ）A．种 B．种 C．种 D．种解：首先将程序B和C捆绑在一起，再和除程序A之外的3个程序进行全排列，最后将程序A排在第一步或最后一步，根据分步计数原理可得种.故选：C变式3：为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（       ）A．10种 B．12种 C．16种 D．24种解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有种方法；如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有种方法.综合得不同的安排方案共有10种.故选:A1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（    ）A．1120 B．7200 C．8640 D．14400【答案】B【分析】相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙.【详解】甲与乙相邻有种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有种不同的排法，再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有种不同的排法，所以共有种不同的排法．故选：B.2．六名同学暑期相约去都江堰采风观景，结束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（   ）A．48种 B．72种 C．120种 D．144种【答案】D【分析】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的两人共“3人”排列，再插空排丙和丁.【详解】甲和乙相邻，捆绑在一起有种，再与丙和丁外的两人排列有种，再排丙和丁有种，故共有种排法.故选：D.3．把二项式的所有展开项重新排列，记有理项都相邻的概率为，有理项两两不相邻的概率为，则（    ）A．5 B． C．4 D．【答案】A【分析】根据二项式的展开公式可得有5项有理项，4项无理项，从而可得、的值，再代入求解即可得答案.【详解】解：，其中，，当时为有理项，故有5项有理项，4项无理项，故，，故.故选:A．4．A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻的不同站法的种数为（    ）A．48 B．96 C．144 D．288【答案】C【分析】根据相邻捆绑法和不相邻问题插空法即可由排列数计算求解.【详解】由于A，B相邻，所以先将A,B看作一个整体捆绑起来与E,F进行全排列，然后将C，D插入到已排好队的两两之间以及首尾的空隙中即可，故共有,故选：C5．2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（    ）A．18种 B．24种 C．30种 D．36种【答案】C【分析】分别计算丙站在左端时和丙不站在左端时的情况，即可得到答案.【详解】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有种站法；当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，有种站法，所以一共有种不同的站法．故选：C6．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（    ）A．18种 B．36种 C．72种 D．144种【答案】C【分析】根据相邻问题捆绑法即可由全排列求解.【详解】由题意可得，故选:C7．甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（    ）A．144 B．864 C．1728 D．2880【答案】C【分析】利用捆绑以及插空法求得正确答案.【详解】甲家庭的站法有种，乙家庭的站法有种，最后将两个家庭的整体全排列，有种站法，则所有不同站法的种数为．故选：C8．某驾校6名学员站成一排拍照留念，要求学员A和B不相邻，则不同的排法共有（    ）A．120种 B．240种 C．360种 D．480种【答案】D【分析】正难则反，首先我们可以求出6名学员随机站成一排的全排列数即，然后求学员A和B相邻的排列数，两数相减即可.【详解】一方面：若要求学员A和B相邻，则可以将学员A和B捆绑作为一个“元素”，此时一共有个元素，但注意到学员A和B可以互换位置，所以学员A和B相邻一共有种排法.另一方面：6名学员随机站成一排的全排列数为种排法.结合以上两方面：学员A和B不相邻的不同的排法共有种排法.故选：D.9．某高铁动车检修基地库房内有共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车、高铁共五列车入库检修，若已知两列动车安排在相邻轨道，则动车停放在道的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件概型以及排列数的计算求得正确答案.【详解】记“两动车相邻”，“动车停在道”，则.故选：C10．班长邀请四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则两位同学座位相邻的概率是（ ）  A． B．C． D．【答案】A【分析】先计算出四位同学参加圆桌会议的情况数，再计算出两位同学座位相邻的情况，从而计算出概率.【详解】四位同学参加圆桌会议，共有种情况，其中两位同学可坐在①②，②③，③④三个位置，并可进行互换位置，有种情况，两位同学坐在其余两个位置，且可互换，有种情况，故两位同学座位相邻的情况有种情况，所以两位同学座位相邻的概率为.故选：A11．将3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻的排法种数有（    ）A．4种 B．8种 C．12种 D．48种【答案】B【分析】根据分步乘法原理结合排列数求解即可.【详解】先让甲站好中间位置，再让2名女生相邻有两种选法，最后再排剩余的2名男生，根据分步乘法原理得，有种不同的排法.故选：B12．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有（    ）A．70种 B．72种 C．36种 D．12种【答案】C【分析】相邻问题用捆绑法即可得解.【详解】甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列，则共有种排法.故选：C13．现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（    ）A．排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种B．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种C．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种D．全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种【答案】ABC【分析】根据题意，利用排列数公式，以及捆绑法、插空法，以及分类讨论，结合分类计数原理，逐项判定，即可求解.【详解】由题意知，现有2名男生和3名女生，对于A中，排成前后两排，前排3人后排2人，则有种排法，所以A正确；对于B中，全体排成一排，女生必须站在一起，则有种排法，所以B正确；对于C中，全体排成一排，男生互不相邻，则有种排法，所以C正确；对于D中，全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾可分为两类：（1）当甲站在中间的三个位置中的一个位置时，有种排法，此时乙有种排法，共有种排法；（2）当甲站在排尾时，甲只有一种排法，此时乙有种排法，共有种排法，综上可得，共有种不同的排法，所以D错误.故选：ABC.14．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ）A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种【答案】BD【分析】A选项，定序问题采用倍缩法进行求解；B选项，采用插空法进行求解；C选项，分两种情况，若最左端排乙，最左端不排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；D选项，使用捆绑法进行求解；【详解】对于A，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，故A错误；对于B，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，故B正确；对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有种；若最左端不排乙，则最左端只能从丙，丁，戊选出1人，又乙不能在最右端，则有种情况，则共有种站法，故C错误；对于D，将甲与乙捆绑，看做一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有种，故D正确；故选：BD15．甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（    ）A．甲乙不相邻的不同排法有48种B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C．甲乙不排在两端的不同排法有36种D．甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种【答案】BCD【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.【详解】A：甲乙不相邻的不同排法有种，所以本选项不正确；B：甲乙中间恰排一个人的不同排法有种，所以本选项正确；C：甲乙不排在两端的不同排法有种，所以本选