专题10 含参函数的极值、最值讨论考点一 含参函数的极值【例题选讲】[例1] 设a＞0，函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)若曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线与直线y＝－x＋1垂直，求切线方程．(2)求函数f(x)的极值．[例2] 已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)当a＝eq\f(1,2)时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．[例3] 设f(x)＝xlnx－eq\f(3,2)ax2＋(3a－1)x．(1)若g(x)＝f′(x)在[1，2]上单调，求a的取值范围；(2)已知f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．[例4] (2016·山东)设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R．(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．[例5] 已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1－\f(a,6)))ex＋1，其中e＝2.718…为自然对数的底数，常数a>0．(1)求函数f(x)在区间(0，＋∞)上的零点个数；(2)函数F(x)的导数F′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－a))f(x)，是否存在无数个a∈(1，4)，使得lna为函数F(x)的极大值点？请说明理由．【对点训练】1．已知函数f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2＋x，a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)令g(x)＝f(x)－(ax－1)，求函数g(x)的极值．2．设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．3．已知函数f(x)＝x2－3x＋eq\f(a,x)．(1)若a＝4，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有3个极值点，求实数a的取值范围．4．已知函数f(x)＝ax－x2－lnx(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)存在极值，且这些极值的和大于5＋ln2，求实数a的取值范围． 5．(2018·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝(2＋x＋ax2)·ln(1＋x)－2x．(1)若a＝0，证明：当－10时，f(x)>0．(2)若x＝0是f(x)的极大值点，求a．考点二 含参函数的最值【例题选讲】[例1] 已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＞0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．[例2] 已知函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x－lnx.(1)当a>0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当a<0时，求函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上的最小值．[例3] 已知函数f(x)＝eq\f(lnx,x)－1．(1)求函数f(x)的单调区间及极值；(2)设m>0，求函数f(x)在区间[m，2m]上的最大值．[例4] 已知函数f(x)＝eq\f(mlnx,x)＋n，g(x)＝x2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f(x)－\f(1,x)－\f(a,2)))(m，n，a∈R)，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.(1)求实数m，n的值及函数f(x)的最大值；(2)当a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e，\f(1,e)))时，记函数g(x)的最小值为b，求b的取值范围．[例5] (2019·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b．(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．【对点训练】1．已知函数g(x)＝alnx＋x2－(a＋2)x(a∈R)．(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)． 2．已知函数f(x)＝(x－a)ex(a∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间[1，2]上的最小值．3．已知函数f(x)＝ax－lnx，F(x)＝ex＋ax，其中x>0，a<0．(1)若f(x)和F(x)在区间(0，ln3)上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；(2)若a∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,e2)))，且函数g(x)＝xeax－1－2ax＋f(x)的最小值为M，求M的最小值．4．已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．5．已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx，其中a∈R．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围． 考点三 含参函数的极值与最值的综合问题【例题选讲】[例1] 已知函数f(x)＝eq\f(ex,1＋ax2)，其中a为正实数，x＝eq\f(1,2)是f(x)的一个极值点．(1)求a的值；(2)当b>eq\f(1,2)时，求函数f(x)在[b，＋∞)上的最小值．[例2] 已知函数f(x)＝aln(x＋b)－eq\r(x)．(1)若a＝1，b＝0，求f(x)的最大值；(2)当b>0时，讨论f(x)极值点的个数．[例3] 设函数f(x)＝ax＋e－x(a＞1)．(1)求证：f(x)有极值；(2)若x＝x0时f(x)取得极值，且对任意正整数a都有x0∈(m，n)，其中m，n∈Z，求n－m的最小值．[例4] 已知函数f(x)＝alnx＋eq\f(1,x)(a＞0)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．[例5] 已知函数f(x)＝(ax－1)lnx＋eq\f(x2,2)．(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l的方程；(2)设函数g(x)＝f′(x)有两个极值点x1，x2，其中x1∈(0，e]，求g(x1)－g(x2)的最小值．[例6] 已知函数g(x)＝eq\f(x2,2)＋x＋lnx．(1)若函数g′(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)函数f(x)＝g(x)－mx，若f(x)存在单调递减区间，求实数m的取值范围；(3)设x1，x2(x1＜x2)是函数f(x)的两个极值点，若m≥eq\f(7,2)，求f(x1)－f(x2)的最小值．【对点训练】1．已知函数f(x)＝xlnx．(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间(0，e]上的最小值(其中e为自然对数的底数)．2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x3＋x2，x<1，,alnx，x≥1.))(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值；(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．3．已知函数f(x)＝alnx＋x2－ax(a∈R)．(1)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)求g(x)＝f(x)－2x在区间[1，e]上的最小值h(a)．4．已知常数a≠0，f(x)＝alnx＋2x．(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围． 5．已知函数f(x)＝asinx＋sin2x，a∈R．(1)若f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有极值点，求a的取值范围；(2)若a＝1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))时，f(x)≥bxcosx，求b的最大值．6．已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2－ax＋a(a∈R)．(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x2≥eq\r(e)x1(e为自然对数的底数)，求f(x2)－f(x1)的最大值