拉格朗日中值定理在导数中的应用（高阶拓展）（教师版）

拉格朗日中值定理在导数中的应用(高阶拓展)命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分【备考策略】1能用导数解决函数基本问题2能理解拉格朗日中值定理及其几何意义3能运用拉格朗日中值定理解题【命题预测】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市模拟卷及高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文为高阶拓展内容，利用拉格朗日中值定理解题，能体现高观点解题的好处，需学生灵活学习知识讲解1.拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数f(x)满足如下条件：(1)f(x)在闭区间[a，b]上连续；(2)f(x)在开区间(a，b)内可导．fb-fa则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得fξ=．b-a2.拉格朗日中值定理的几何意义如图所示，在满足定理条件的曲线y=fx上至少存在一点P(ξ，f(ξ))，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线．3.需要注意的地方(逆命题不成立)拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于3切线斜率,如fx=x在x=0处的切线斜率为0,但fx不存在割线使割线斜率等于0·1·4.拉格朗日公式还有下面几种等价形式fb-fa=fξb-aa<ξb都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当0<θ<1时，a-1x1-x2证明:由拉格朗日中值定理可知只需证f(x)>-1对x∈(0,+∞)恒成立2a-1x-(a-1)x+(a-1)由f(x)+1=x+-(a-1)=,xx因为1024则f(x)+1>0⇒f(x)>-12设f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,当a<-1时,若对任意的x1,x2∈(0,+∞),fx1-fx2≥4x1-x2成立,求a的取值范围解:由拉格朗日中值定理,可知必存在x0∈(0,+∞),fx1-fx2a+1使得fx0=fx0=+2ax0,x1-x2x0当a<-1且x0>0时,a+1fx0=+2ax0<0x02-4x-1(2x-1)由题意fx0≥4⇒fx0≤-4⇒a≤=-2≤-2,2x2+12x2+1即a≤-2sinx3设f(x)=,若对任意x≥0,都有f(x)≤ax,求a的范围2+cosxf(x)解:x>0时,f(x)≤ax等价于≤a,xf(x)-f(0)由拉格朗日中值定理,存在x>0使得=fx,0x-00故只需a≥fx0恒成立即可22cosx0+11111又fx==-3-+∈-1,,022+cosx0cosx0+23331所以a≥34已知函数f(x)=ex+x-1，若对任意x∈(0,+∞)都有f(x)>kx恒成立，求k的取值范围f(x)解：因为x>0，所以f(x)>kx⇔k<，x注意到f(0)=0，·5·f(x)-f(0)则k<恒成立。x-0由拉格朗日中值定理知:存在t∈(0,x)使得f(x)-f(0)k<,x-0所以kx1-x22a解：令g(x)=f(x)=2x-+,x2x由拉格朗日中值定理,存在λ>0使得对任意两个不相等的正数x1,x2,gx1-gx2=g(λ).x1-x2,只需证明当a≤4时,都有g(λ)>14a24即证明2+->1⇔a<λ+恒成立,λ3λ2λ242223而λ+=λ++≥34λλλ324故当a≤4时,a<4<34≤λ+成立,故原命题成立λx-x6(2022秋·云南保山·高二校考阶段练习)设函数fx=e-e(1)求证：f(x)的导数fx≥2；(2)若对任意x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)(-∞，2]【分析】(1)先求出f(x)的导函数，利用a+b≥2ab当且仅当a=b时取等号．得到f'(x)≥2；(2