数学答案

2023年1月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试高三数学参考答案及评分标准一单项选择1—4DBAB5—8CADB二多项选择9.AB10.AD11AC12.BC三填空题21[,1)13.1214.5e15.6+4216.2四解答题17．（本小题满分10分）ab（1）由cosB=c-2c，得2ccosB=2a﹣b，利用正弦定理得：2sinCcosB=2sinA﹣sinB，即2sinCcosB=2sin(B+C)﹣sinB，化简得sinB=2sinBcosC，……………………………………………………………………2分1∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosC=2，又∵C∈（0，π），∴C=.……………………………………………………………………………………4分31（2）因为D为边AB的中点，所以CD=+()CACB，则………………………………6分222221112CD=(CACB+)=CACB++=++2CACB4a22acos，44()43化简得aa2+−=2240，……………………………………………………………………8分解得a=4（舍负）…………………………………………………………………………10分注：采用补形等其他方法，亦赋分。18．（本小题满分12分）（1）因为2bn(an＋1－an)＝bn＋2，a1＝1，a2＝3，令n=1得4b1＝b3，…………………………………………………………………………2分又数列{bn}为等比数列，所以解得q=2,故bn＋1=2bn，……………………………4分则an＋1－an＝2，所以数列{an}是以1为首项2为公差的等差数列，所以an＝2n-1…………………………………………………………………………………6分（2）由（1）知数列数列{bn}为公比为2的等比数列11若选①，由S+1=S得b+2b+1＝(b+2b+4b，223112111)n所以b1＝2,则bn=2…………………………………………………………………………8分若选②，由b1，2a2-1,b3成等差数列得4a2-2=b1+b3，即b1+4b1＝10，所以b1＝2,则bn=………………………………………………………8分7푏1(1−2)若选③，由S7＝254得=254，所以b1＝2,则bn=………………………8分1−22nn−1,为奇数所以c=nn2,n为偶数所以数列{cn}的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公比的等比数列………………………………………………………………………………10分所以T2n＝(a1+a3++a2nn−1)+(b2+b4++b2)nn(−1)4(1−4nn)4(4−1)=n+4+=2n2−n+………………………………………12分21−4319．（本小题满分12分）(1)由题意知知识竞赛成绩达到95分以上(含95分)获优秀奖,甲单位的成绩共有10个,甲单位的成绩达到95分及以上的有98,97,95.5,95.4,共四个,所以设“甲单位在竞赛中获优秀奖”为事件A,则事件A的概率为P(A)=4=0.4.………………………………………………………………2分10(2)由题意知X所有可能取值为0,1,2,3.甲单位在知识竞赛中获优秀奖的概率为P(A)=0.4.设“乙单位在知识竞赛中获优秀奖”为事件B,则事件B的概率为P(B)=3=0.5.6设“丙单位在知识竞赛中获优秀奖”为事件C,则事件C的概率为P(C)=2=0.5.…………4分4于是P(X=0)=0.6×0.5×0.5=0.15,P(X=1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4,……………………………………6分P(X=2)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35,P(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1,……………………………………………………………………8分所以E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4.……………………………………………10分(3)甲获得冠军的概率估计值最大.甲的平均数为(98+97+95.5+95.4+94.8+94.2+94+93.5+93+92.5)÷10=94.79,乙的平均数为(97.8+95.6+95.1+93.6+93.2+92.3)÷6=94.6,丙的平均数为(98.5+96.5+92+91.6)÷4=94.65.故甲获得冠军的概率估计值最大.……………………………………………………………12分20．(本小题满分12分)(1)在三棱锥P-ABC中，设点A到平面PBC的距离为h，12214则푉=푆⋅ℎ=√ℎ=푉=푆⋅푃퐴=，…………………………2分퐴−푃퐵퐶3△푃퐵퐶3푃−퐴퐵퐶3△퐴퐵퐶3解得h=2，所以点A到平面PBC的距离为2.…………………………………………………………4分(2)取PB的中点E,连接AE,如图，因为PA=AB，所以AE⊥PB，又平面PBC⊥平面PAB，平面PBC∩平面PAB=PB，且AE平面PAB，所以AE⊥平面PBC，又BC平面PBC，AE⊥BC又PA⊥平面ABC，且BC平面ABC，所以，PA⊥BC.又AE，PA平面PAB且AE∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，又AB平面PAB，所以BC⊥AB.…………………………………………z…………………6分于是，以B为原点直线BC，BA为x,y轴，过B且平行于PA做z轴，，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得AE=2，所以AP=AB=2,PB=22，yx又△PBC面积为22，所以BC=2，于是，퐴(0,2,0),푃(0,2,2),퐵(0,0,0),퐶(2,0,0),所以푃퐶的中点D(1,1,1)，则BD=(1,1,1)，BA==(0,2,0),BC(2,0,0),……8分mBD=x+y+z=0设平面ABD的一个法向量m=(x,,yz)，则，mBA=20y=可取m=−(1,0,1)，mBD=a+b+c=0设平面BDC的一个法向量n=(a,,bc)，则，mBC=20a=r可取n=−(0,1,1)，……………………………………………………………………………10分mn11则cosmn,===，mn222213所以二面角A−−BDC的正弦值为1−=.………………………………………12分2221．(本小题满分12分)（1）证明：由题意，圆C的圆心（23，0），半径R=23，由点N与M关于PQ对称，则|푃푁|=|푃푀|,|P퐶|−|푃푀||=||푃퐶|−|푃푁||=|퐶푁∣=2√3，且‖푃퐶|−|푃푀‖=2√3<4√3=|퐶푀|由双曲线定义知，点P的轨迹C为以CM,为焦点，实轴长为23的双曲线，………2分xy22设双曲线方程为：−=1(ab0,0)ab22∴2푎=2√3,푎=√3,푐=2√3,∴푏2=푐2−푎2=9푥2푦2所以双曲线C′方程为−=1…………………………………………………………4分3922′푥푦（2）由题意知，ll12,分别为双曲线퐶:−=1的渐近线39设퐴(푥1,√3푥1),퐵(푥2,−√3푥2)(푥1,푥2>0)，由AP=PB，设푃(푥푄,푦푄).∴푥푄−푥1=휆(푥2−푥푄),푦푝−√3푥1=휆(−√3푥2−푦푝)푥+휆푥푥−휆푥∴푥=12,푦=√3⋅12，……………………………………………………………6分푝1+휆푝1+휆由于P点在双曲线上222(푥1+휆푥2)(푥1−휆푥2)23(1+휆)∴−=1,∴4휆푥1푥2=3(1+휆),∴푥푥=……………………8分3(1+휆)23(1+휆)2124휆又22，|푂퐴|=√푥1+3푥1=2푥1휋同理|푂퐵|=2푥，设的倾斜角为，2OA32휋√3则sin∠퐴푂퐵=sin=32.11√33√31∴푆=|푂퐴|⋅|푂퐵|∠퐴푂퐵=⋅4푥푥⋅=√3푥푥=(휆++2)…………10分△퐴푂퐵2sin2122124휆111容易知道，函数푦=휆+,휆∈[,2],在,1上单调递减，在(1,2上单调递增，휆333√31当=1时，(푆)=(1++2)=3√3；△퐴푂퐵min4113√31当=时，(푆)=(+3+2)=4√3；3△퐴푂퐵max43∴푆△퐴푂퐵∈[3√3,4√3].………………………………………………………………………12分22．(本小题满分12分)ex(1)由题意可知，h(x)=-a-lnx+x的定义域为(0,+∞),xex因为h(x)≥0，从而有a≤-lnx+x，…………………………………………………………2分xxe푥푥令φ（x）=-lnx+x，φ'(x)=e(푥-1)-1+1=(e+푥)(푥-1).x푥2푥푥2当01时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增.则φ(x)min=φ(1)=e+1.要使得h(x)≥0恒成立,即满足a≤φ(x)min=e+1.故a的取值范围为(-∞,e+1].……………………………………………………………………4分(2)证明:令F(x)=f(x)-b(x+1)=ex-x-b,F'(x)=ex-1，在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增；F(x)min=1-b1x-1g(x)=x-lnx-b,g(x)=1-=,在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,且g(x)=1-b′xxming(x)min=F(x)min,两个最小值相等………………………………………………………………6分①当b<1时,此时两个函数均无零点,不符合题意;②当b=1时,此时0,1分别是两个函数的零点，不符合题意；③当b>1时,首先,证明函数F(x)=ex-x-b有2个零点.依据F(x)的单调性.结合零点存在定理F(-b)=e-b>0,F(0)=1-b<0,F(b)=eb-2b>0,(令t(b)=eb-2b,则当b>1时,t'(b)=eb-2>0,t(b)>t(1)=e-2>0)所以F(x)在区间(-∞,0)上存在且只存在1个零点,设为x1,在区间(0,+∞)上存在且只存在1个零点,设为x2.其次,证明函数g(x)有2个零点.依据g(x)的单调性，结合零点存在定理g(e-b)=e-b>0,g(1)=1-b<0,g(2b)=b-ln2b>0,(令μ(b)=b-ln2b,则当b>1时,μ'(b)=1-1>0,μ(b)>μ(1)=1-ln2>0)푏所以g(x)在区间(0,1)上存在且只存在1个零点,设为x3,在区间(1,+∞)上存在且只存在1个零点,设为x4.……………………………………………………………………………………8分再次,证明存在b使得x2=x3.因为F(x2)=g(x3)=0,푥所以b=e2-x2=x3-lnx3.푥푥若x2=x3,则e2-x2=x2-lnx2,即e2-2x2+lnx2=0.所以只需证明ex-2x+lnx=0在区间(0,1)上有解即可,即λ(x)=ex-2x+lnx在区间(0,1)上有零点.112因为λ()=ee3--3<0,φ(1)=e-2>0,e3e3x푥所以λ(x)=e-2x+lnx在区间(0,1)上存在零点x0,令x2=x3=x0即可,此时取b=e0-x0,此时存函数F(x)和函数g(x)共有3个零点.………………………………………………10分最后,证明x1+x4=2x0,即三个零点成等差数列.因为F(x1)=F(x2)=F(x0)=0=g(x3)=g(x0)=g(x4),lnx所以F(x1)=g(x0)=x0-lnx0-b=e0-lnx0-b=F(lnx0),又因为F(x)在区间(-∞,0)上单调递减,x1<0,00,푥푥所以e0>1,x4>1,所以x4=e0.푥又因为e0-2x0+lnx0=0,푥所以x1+