仿真卷04（原卷版）

绝密★启用并使用完毕前测试时间：年月日时分——时分仿真卷04本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（）。A、B、C、D、2．设复数（），且，则（）。A、B、或C、D、或3．某地积极响应党中央的号召，开展扶贫活动，扶贫第年该地区贫困户每年人均收入万元的部分数据如下表：年份编号12345年人均收入0.50.61.41.7根据表中所给数据，求得与的线性回归方程为，则（）。A、B、C、D、4．“牵星术”是古代的航海发明之一，在《郑和航海图》中都有记载。如图所示，“牵星术”仪器主要是由牵星板（正方形木板），辅以一条细绳贯穿在本板的中心牵引组成，要确定航船在海上的位置，观察员一手持一块竖直的牵星板，手臂向前伸直，另一手持看线端置于眼前，眼睛瞄准牵星板上下边缘，将下边缘与水平线取平，上边缘与北极星眼线重合，通过测出北极星眼线与水平线的夹角来确定航船在海上的位置（纬度）。某航海观察员手持边长为的牵星板，绳长，观察北极星，眼线恰好通过牵星板上边缘，则航船所处的纬度位于区间（）。参考数据：、、、。A、B、C、D、5．技术的数学原理之一是著名的香农公式：。它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比。当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计。假设目前信噪比为，若不改变带宽，而将最大信息传播速度提升，那么信噪比要扩大到原来的约（）。A、倍B、倍C、倍D、倍6．已知函数的定义域为，且满足，若，则在内的零点个数为（）。A、B、C、D、7．如图所示，在底圆半径和高均为的圆锥中、是过底圆圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（）。A、B、C、D、8．四位小伙伴在玩一个“幸运大挑战”小游戏，有一枚幸运星在他们四个人之间随机进行传递，游戏规定：每个人得到幸运星之后随机传递给另外三个人中的任意一个人，这样就完成了一次传递。若游戏开始时幸运星在甲手上，记完成（，）次传递后幸运星仍在甲手上的所有可能传递方案种数为，则（）。A、B、C、D、二、多选题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。9．下列命题中正确的是（）。A、，B、，C、，D、，10．年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线。如图所示，取一个边长为的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第个图形，重复上面的步骤，得到第个图形。这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线。云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”。下列说法正确的是（）。A、第个图形的边长为B、记第个图形的边数为，则C、记第个图形的周长为，则D、记第个图形的面积为，则对任意的，存在正实数，使得11．已知函数，则下列说法正确的是（）。A、为周期函数B、的图像关于点对称C、有最大值D、在上单调递增12．如图所示，已知正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，点、分别在半圆弧和半圆弧（均不含端点）上，且、、、在球上，则下列说法正确的是（）。A、当点在半圆弧的中点处时，三棱锥的体积为定值B、当点在半圆弧的中点处时，过、、三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C、球的表面积的取值范围为D、当点在半圆弧的三等分点处时，球的表面积为三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。13．已知向量、满足：、、，则与的夹角大小为。14．在一次机器人比赛中，有供选择的型机器人和型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛，型机器人被选中的概率为，若型机器人比型机器人多个，则型机器人的个数为。15．设、分别为双曲线：的左、右焦点，若双曲线上存在点，使得，且，则。16．若（）对于恒成立，则当时，的最小值为；当时，的最小值为。（本小题第一个空2分，第二个空3分）四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）设为数列的前项和，已知，。（1）证明：数列是等比数列；（2）判断、、是否成等差数列？并说明理由。18．（本小题满分12分）已知函数（，）的图像是由的图像向右平移个单位得到的。（1）若的最小正周期为，求的与轴距离最近的对称轴方程；（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围。19．（本小题满分12分）如图所示，在长方体中，、，为中点，为中点。（1）求证：平面；（2）若线段上存在点使得，求直线与平面所成角的正弦值。20．（本小题满分12分）某学校共有名学生参加知识竞赛，其中男生人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示。将分数不低于分的学生称为“高分选手”。（1）求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从分数落在、内的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，记被抽取的名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高分选手”的女生有人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生女生合计（参考公式：，其中）21．（本小题满分12分）已知椭圆：（）的离心率等于，椭圆与抛物线：交于、两点（在轴上方），且经过的右焦点。（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点、是椭圆上不同的两个动点，且满足直线与直线关于直线对称，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由。22．（本小题满分12分）已知函数（）。（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围。