仿真卷05（解析版）

绝密★启用并使用完毕前测试时间：年月日时分——时分仿真卷05本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，设集合，集合，则（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】由得，∴，∵，∴，∴，∴，故选C。2．已知、为复数，若命题：，命题：，则是成立的（）。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵、是两个复数，若成立，则是正实数，此时两复数也可能是虚部相等的复数，故不能得到，若成立，则、都是实数，则可得出，即是的必要不充分条件，故选B。3．年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”。在此次活动中，某学校有女、男名教师报名成为志愿者，现在有个不同的社区需要进行普查工作，从这名志愿者中选派名，每人去个小区，每个小区去名教师，其中至少要有名女教师，则不同的选派方案有（）。A、种B、种C、种D、种【答案】C【解析】根据题意，分步进行分析：①在名志愿者中选派名，要求至少要有名女教师，有种分组方法，②将选出的人安排到三个社区，有种安排方法，则有种不同的选派方法，故选C。4．函数在轴正半轴的图像大致为（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】当时，，则当时单调递减且恒大于，故选D。5．已知直线：与圆：相交于、两点，则（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】圆：，圆心，半径，联立得，解得或，不妨设，，则，，∴，故选B。6．多项式展开式中的系数为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵原式，∴展开式中含的项包含：①中项为，②中的项为，这两项的系数和为，故选C。7．设，，，则（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】设，定义域为，，令，解得，当时，，则在内单调递增，当时，，则在内单调递减，∴，即，∴，即，设，定义域为，则，∴在上单调递增，∴，∴当时，∵，∴，∵，∴，∴，故选A。8．若为锐角三角形，、分别为、的中点，且，则的取值范围是（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】设的内角、、所对的边分别为、、，设、交于点，连接，延长交于，则为的中点，由可得、、，在中，，在中，，∵，∴上面两式相加得，∵为锐角三角形，可得、、，可得、，则，即，又，当且仅当时取等号，设（），则在递减，在递增，∵，则，故选D。二、多选题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。9．某次音乐节某乐评人评委给支乐队的评分如图所示，则下列说法正确的是（）。A、支乐队评分的极差为B、支乐队中评分不低于分的有支C、支乐队评分的平均数约为D、第支到第支乐队的评分逐渐降低【答案】ABC【解析】A选项，由折线图可知支乐队评分的极差为，对，B选项，由折线图可知支乐队中，不低于分（大于等于分）的有支，对，C选项，支乐队评分的平均数为，对，D选项，由折线图可知第支乐队的评分高于第支乐队的评分，从而第支到第支乐队的评分不是逐渐降低的，错，故选ABC。10．已知抛物线，过焦点的弦的倾斜角为（），当坐标原点，则下列说法正确的有（）。A、若、，则B、当时，C、以为直径的圆与准线相切D、不论为何值，的面积为定值【答案】ABC【解析】设直线斜率为，又过焦点，∴方程：，由，将代入得，即，设、，∴，A对，∵，∵，∴直线方程，代入，，，，B对，设中点为，到准线距离为，则以为直径的圆半径为，在梯形中，，∴以为直径的圆与准线相切，C对，，的面积与有关，D错，故选ABC。11．已知数列的首项为且满足，其中，则下列说法中正确的是（）。A、当时，有恒成立B、当时，有恒成立C、当时，有恒成立D、当（）时，有恒成立【答案】AC【解析】∵，∴，A选项，当时，，，∴，，∴，，∴，……，∴是周期的数列，即，对，B选项，当时，，，∴，，∴，，∴，，∴，，∴，，∴，，∴，……，根据A选项可知从第项开始是周期的数列，即（且），而当时，、，，即不恒成立，错，当时，恒成立，C选项，当时，，，∴，，∴，，∴，，∴，，∴，，∴，，∴，，∴，，∴，，∴，根据A选项可知从第项开始是周期的数列，即（且），∴恒成立，对，D选项，当（）时，，，∴，，∴，，∴，，∴，∴猜想，，，∴不成立，错，故选AC。答题技巧：C选项一定不做！多选题，BD错，A对，则C一定对，但要注意一定要保证其他三个选项一定是一对二错。12．已知直四棱柱的侧棱长为，底面是边长为的菱形，且，点在边上，且满足，若动点在该四棱柱的表面上运动，并且总保持，当与平面所成角最大时，有（）。A、B、C、异面直线与所成角的余弦值为D、三棱锥的外接球半径为【答案】AC【解析】在直四棱柱中，∵底面是边长为的菱形，且，∴连接、交于点，连接、交于点，以为原点如图建系，则、、、，、、、、、，，则，A选项对，设点在边上，且满足，连，则，则，在上设一点，则，则，解得，∴，∴的边为点的运动轨迹，当点与重合时，与平面所成角最大，∴，∴，B选项错，、，，∴异面直线与所成角的余弦值为，C选项错，设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为，，∴，则，D选项错，故选AC。三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。13．若定义在上的非零函数，对任意实数，存在常数，使得恒成立，则称是个“函数”，试写出一个“函数”：。（答案不唯一）【答案】【解析】函数即对，存在常数，使得即是周期为的非零函数，∴考虑三角函数为周期函数，设，，，∴，可作为函数。14．地铁换乘站设有编号为、、、、的五个安全出口。若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：安全出口编号、、、、、疏散乘客时间（）则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是。【答案】【解析】同时开放、需，同时开放、需，则的速度大于的速度，同时开放、需，同时开放、需，则的速度大于的速度，同时开放、需，同时开放、需，则的速度大于的速度，同时开放、需，同时开放、需，则的速度大于的速度，同时开放、需，同时开放、需，则的速度大于的速度，综上所述：且，则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是。15．已知椭圆：（）的左右焦点为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是。【答案】【解析】①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，②当点不与短轴的顶点重合时，以为一腰的等腰三角形时，以作为等腰三角形的底边为例构成等腰，∵，∴点在以为圆心，半径为焦距的圆上，∴当以为圆心，半径为的圆与椭圆有交点时，存在个满足条件的等腰，同理在轴对应侧也存在个满足条件的等腰三角形，在中，，即，由此得知，∴离心率，当时，是等边三角形，与①中的三角形重复，故，∴椭圆的离心率的取值范围是。16．已知函数（）的两个极值点为、，且，则的取值范围为。【答案】【解析】∵的定义域为，，且、是两个极值点，∴、是的两个根，又恒成立，∴、，∴，又∵，∴，∴，，∴，令，设，，∴，∴在上单调递减，∴，∴，∴的取值范围是。四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）在条件①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答。已知的角、、的对边分别为、、，且，。（1）求；（2）求面积的最大值。注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分。【解析】若选条件①，（1）在中，，由题意及正弦定理得，2分由余弦定理可得，∵，∴；4分（2）∵、，∴在中，由余弦定理可得，6分∴，解得，当且仅当时取等号，8分∴面积的最大值。10分若选条件②，（1）在中，，由题意及正弦定理得，2分∵，∴，即，∵，，∴，∴；4分（2）∵、，∴由余弦定理可得，6分∴，解得，当且仅当时取等号，8分∴面积的最大值。10分若选条件③，（1）在中，，由题意及正弦定理得：，2分∴，由余弦定理得，∵，∴；4分（2）∵、，∴在中，由余弦定理可得，6分∴，解得，当且仅当时取等号，8分∴面积的最大值。10分18．（本小题满分12分）一批新能源汽车的锂电池在出厂前要进行一次质量检测，检测方案是：从这批锂电池中随机抽取个，对其一个一个地进行检测，若这个都为优质品，则这批锂电池通过这次质量检测，若检测出非优质品，则停止检测，并认为这批锂电池不能通过这次质量检测。假设抽取的每个锂电池是优质品的概率都为。（1）设一次质量检测共检测了个锂电池，求的分布列；（2）设，已知每个锂电池的检测费用都是元，对这批锂电池进行一次质量检测所需的费用记为（单位：元），求的数学期望的最小值。【解析】（1）由题意知可取、、、，1分，，，，3分∴的分布列为：6分（2）由（1）知，8分∵，∴，10分设，则在单调递增，∴当时，取得最小值，∴的数学期望的最小值元。12分19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥中，，，是正三角形。（1）求证：平面底面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值。【解析】（1）连结，由题设得，，，1分∵，，∴，2分∵，∴平面，∵底面，∴平面底面，4分（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、，5分设（），可得，∴，又底面即平面的法向量为，则，∴，解得（可取）或（舍去），∴，8分设平面的法向量为，∵，∴，∴，设，则、，∴，10分设二面角的平面角为，经观察为钝角，∴。12分20．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，满足，。（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项的和。【解析】（1）当时，，解得，1分∵，∴，∴两式相减得：，∴，3分∴数列是首项为、公比为的等比数列，∴；5分（2），其中（），6分∴当为偶数时，，此时数列中的部分项是为的常数项，7分当为奇数时，、、、，此时数列中的部分项是首项为，公比为的等比数列，9分∴。12分21．（本小题满分12分）已知椭圆：，直线：与轴相交于点，过右焦点的直线与椭圆交于、两点。（1）若过点的直线与垂直，且与直线交于点，线段中点为，求证。（2）设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否垂直，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由。【解析】（1）证明：由椭圆方程为知右焦点坐标为，直线的方程为，点坐标为，1分由直线知，直线的斜率不为，故设直线的方程为，从而直线的方程为，2分令，得点的坐标为，∴直线的方程为，3分联立，得，恒成立，5分设、，即，，6分∴线段的中点坐标为，，综上可知；7分（2）当直线的斜率为时，点即为点，从而，8分当直线的斜率不为时，由（1）知，，，9分∴，则，直线的方程为，10分又，令，得，11分∴点的坐标为，即。12分22．（本小题满分12分）已知函数，其中为自然对数的底数，。（1）讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。【解析】（1）的定义域为，，1分①当时，，，，单调递减，，，单调递增，2分②当时，，，，，单调递增，，，，单调递减，，，，单调递增，3分③当时，，，单调递增，4分④当时，，，，，单调递增，，，，单调递减，，，，单调递增，5分综上所述，当时，在单调递减，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，当时，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增；6分（2）当时，，令，则，8分令，，是单调递增函数，∴，∴在单调递增，∴，9分①当即时，，∴在上单调递增，，符合题意，10分②当即时，，时，，∴存在，使得，∵，，单调递减，∴，不恒成立，11分综上所述，实数的取值范围是。12分