2022-2023学年高三下学期3月四校联考试卷数学学科本试卷分四大题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的并集结果求出a值，再利用交集的定义求解作答.【详解】因为集合，，，因此，即，所以.故选：B2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据新定义求得a的值，代入求得复数的代数形式，可得复数所对应的点的坐标，进而可得结果.【详解】∵，又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数为“等部复数”，∴，解得，∴，∴，即：，∴复数在复平面内对应的点是，位于第一象限.故选：A.3.已知函数的图象关于直线对称，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦型函数的对称轴可构造方程求得的取值，进而可确定的最小值.【详解】关于直线对称，，解得：，当时，取得最小值.故选：A.4.设，则a，b，c的大小关系为（）A.a历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得到第一段圆弧到第n段圆弧的半径构成等差数列，结合圆心角，利用求和公式求出答案.【详解】依题意，每段圆弧的圆心角为，第一段圆弧到第n段圆弧的半径构成等差数列：1，2，3，…，n.，所以当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为.故选：D.7.过抛物线（p＞0）的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，设，，若n，，成等比数列，则（）A. B.3C.3或 D.【答案】B【解析】【分析】由抛物线的定义及等比中项的性质计算可得结果.【详解】由n，，成等比数列，得．由抛物线的定义知，，，所以，所以，又因为，，所以．故选：B.8.已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】连接，，，设三棱锥外接球的球心为，设过点的平面为，则当时，此时所得截面的面积最小，当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解.【详解】连接，，由，可知：和是等边三角形，设三棱锥外接球的球心为，所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，是等边三角形，为中点，所以，又因为侧面底面，侧面底面，所以底面，而底面，因此，所以是矩形,和是边长为的等边三角形，所以两个三角形的高，在矩形中，，连接，所以，设过点的平面为，当时，此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，，因此圆的半径为：，所以此时面积为，当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：，所以截面的面积范围为.故选：A．【点睛】关键点点睛：几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.已知随机变量X，Y，满足，且X服从正态分布，则B.已知随机变量X服从二项分布，则C.已知随机变量X服从正态分布，且，则D.已知一组数据的方差是3，则数据的标准差是12【答案】AC【解析】【分析】根据离随机变量的正态分布、二项分布的性质，以及方差和标准差的概念，逐项分析判断即可得解.【详解】对于A，因为X服从正态分布，所以，因为，则，所以，故A正确；对于B，因为X服从二项分布，所以，故B错误；对于C，因为服从正态分布，则其正态分布曲线的对称轴为，所以，所以，故C正确；对于D，令的平均数为，方差，所以的方差为，故所求标准差，故D错误.故选：AC.10.如图，在正方体中，点P是底面（含边界）内一动点，且平面，则下列选项正确的是（）A.B.三棱锥的体积为定值C.平面D.异面直线AP与BD所成角的取值范围为【答案】AB【解析】【分析】由已知条件，通过面面平行，得点在线段上，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决垂直、夹角等问题.【详解】连接，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面，同理可证平面，，∴平面平面，则点在线段上，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，设，，，，，A选项正确；平面，则点到平面的距离为定值，面积也为定值，所以三棱锥的体积为定值，B选项正确；，，，时，，不一定成立，故C选项错误；，，，，，设异面直线与所成的角为，则，当时，取得最小值0，当或1时，取得最大值，∴，则，即异面直线与所成角的取值范围为，D选项错误.故选：AB11.已知圆，点P为直线上一动点，下列结论正确的是（）A.直线l与圆C相离B.圆C上有且仅有一个点到直线l的距离等于1C.过点P向圆C引一条切线PA，A为切点，则的最小值为D.过点P向圆C引两条切线PA和PB，A、B为切点，则直线AB过定点【答案】ACD【解析】【分析】根据圆心到直线的距离判断A，由圆心到直线的距离与圆的半径差判断B，根据勾股定理转化为求直线上点到圆心距离最小值判断C，求出过的直线方程，根据方程求定点判断D.【详解】对于A，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A正确；对于B，由A知，，故圆C上有2个点到直线l的距离等于1，故B错误；对于C，，当且仅当PC与直线垂直时等号成立，所以最小值为，故C正确；对于D，设点，则，即，由切线性质可知四点共圆，且圆的直径为，所以圆的方程为，两圆的方程作差，得公共弦所在直线方程为， 即，整理可得，解方程，解得，所以直线AB过定点，故D正确.故选：ACD12.已知定义在上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论正确的有（）A.的图象关于对称B.C.D.有100个零点【答案】ABD【解析】【分析】根据条件可得，，，即函数关于直线对称且周期为4奇函数，利用周期性求出，判断选项；再画出函数与的函数部分图象，数形结合判断它们的交点情况判断选项.【详解】因为函数是偶函数，则，即，所以函数关于直线对称，故选项正确；又函数为上的奇函数，所以，则，即函数是周期为4的奇函数，由，即.所以，故选项正确；，，所以，故选项错误；综上：，作出与的函数部分图象如下图所示：当时，函数过点，故时，函数与无交点；由图可知：当时，函数与有一个交点；当时，函数的每个周期内与有两个交点，共个交点，而且，即时，函数与无交点；当时，过点，故当时，函数与无交点；由图可知：当时，函数与有3个交点；当时，函数的每个周期内与有两个交点，共个交点，而且，即时，函数与无交点；综上，函数共有个零点，故选项正确，故选：.【点睛】关键点点睛：对于本题选项D，正确作出函数的大致图象，利用关键点处的函数值以及周期是解题关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2022年4月24日是第七个“中国航天日”，今年主题是“航天点亮梦想”.某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数的值可以是___________（写出一个满足条件的m值即可）.【答案】7或8或9或10（填上述4个数中任意一个均可）【解析】【分析】由百分位数的概念即可得出答案.【详解】7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，该组数据从小到大排列为：6，7，7，8，8，9，10，则，故第25百分位数为第二个数即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m，第25百分位数为7，而，所以7为第二个数与第三个数的平均数，所以的值可以是7或8或9或10.故答案为：7或8或9或10.14.已知为锐角，，则__________．【答案】【解析】【分析】利用三角恒等变换求得，从而得到，由此结合角的范围即可得解.【详解】因为，所以，又因为为锐角，所以.故答案为：15.设是曲线上的点，，，则的最大值等于______．【答案】10【解析】【分析】作出曲线和椭圆的图象，延长交椭圆于点，可得出，由三角形三边关系得出，当且仅当点为椭圆的顶点时，等号成立，由此可得出的最大值.【详解】由可得，作出椭圆和曲线(去绝对值后，可得图象为四条线段)的图象如下图所示：则点、分别为椭圆的左、右焦点，由椭圆定义得.延长交椭圆于点，当点不在坐标轴上时，由三角形三边关系得，所以，；当点为椭圆的顶点时.综上所述，，因此，的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查曲线与方程之间的关系，同时也考查了椭圆定义的应用，建立不等关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力.16.是函数的图象上不重合的三点，若函数满足：当时，总有三点共线，则称函数是“零和共线函数”．若是“零和共线函数”，则a的范围是__________．【答案】【解析】【分析】判断函数的奇偶性，利用奇函数的对称性判断符合“零和共线函数”的定义对应的a取值.【详解】由的定义域为R，又，所以，有均为奇函数，且，即图象在y轴一侧的点，在其另一侧一定存在关于原点对称的点，所以，上述y轴两侧关于原点的对称点与原点可构成满足题设的三点，综上，对于，都有是“零和共线函数”.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列的前n项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入已知式子可得是等差数列，进而得到通项公式，再由与的关系求出的通项公式.（2）由裂项相消求和可得，再由的单调性可求得其范围.【小问1详解】因为，所以由，得，所以，所以，即．在中，令n=1，得，所以a1=1．所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，即：．当时，，也适合上式，所以数列的通项公式为．【小问2详解】由（1）知，，所以，因为bn＞0，所以随着n的增大而增大，所以，又显然，所以，即的取值范围为．18.某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角为锐角，假设墙的可利用长度（单位：米）足够长．（1）在中，若边上的高等于，求；（2）当的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．【答案】（1）（2）平方米【解析】【分析】（1）过点作交于．设，则，，在中，求得，由计算即可得解；（2）设，则，，从而得出，利用三角恒等变换、辅助角公式及三角函数的性质即可得到答案．【小问1详解】过点作交于．设米，，则米，米．在中，．故．【小问2详解】设，则米，米，因为，所以，所以，当时，该活动区域的面积取得最大值，最大值为平方米．19.如图，在四棱锥中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，ABDC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.（1）证明：平面EAC⊥平面PBC；（2）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角P-AC-E的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂