2023年高考数学必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷02（解析版）

绝密★启用并使用完毕前测试时间：年月日时分——时分2023年高考必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷02本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，集合，若，则（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，又∵，∴，∴，∴，∴，故选B。2．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】是纯虚数，则，解得，则，故选C。3．年我国中医药选出的“三药三方对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没。“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方。若某医生从“三药三方”中随机选出种，则恰好选出药方的方法种数为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出种，恰好选出药方，则药的取法有种，方的取法也有种，则恰好选出药方的方法种数为，故选B。4．若，“”是“函数在上有极值”的（）。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵，则，令，可得，当时，，时，，∴函数在处取得极小值，若函数在上有极值，则，∴，∴是函数在上有极值的充分不必要条件，故选A。5．韦伯—费希纳定律是表明心理量和物理量之间关系的定律，其中心理量和物理量之间满足关系式（其中表示心理量，是常数，表示物理量，是积分常数），表示的含义是心理量和物理量的对数值成正比，通过研究表明，当时，。若，则的值大约为（）。参考数据：。A、B、C、D、【答案】B【解析】当时，，∴，解得，∴，若，则，∴，即，故选B。6．已知函数(，，)的部分图像如图所示，则和的值分别为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】由函数图像可知，即，∴，则，∵，则，，又，∴，故选C。7．已知的外接圆的半径等于，且，则的取值范围是（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】解法1：设，则，设，∴，∵，，∴，故选D。解法2：以为坐标原点，轴，建立坐标系，则，，设，则，∵，∴，故选D。8．已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】根据题意，，则，而函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，则，则，当时，，则在为增函数，为偶函数，其图像关于轴对称，则的图像关于直线对称，在区间上为增函数，对于，其图像必定关于直线对称，当时，，且，则在区间上为增函数，若函数有唯一零点，则有，解可得（可取）或（舍去），故选A。二、多选题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。9．下列说法中错误的为（）。A、已知向量、向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B、向量、向量不能作为平面内所有向量的一组基底C、非零向量和满足：且与同向，则D、非零向量和满足：，则与的夹角为【答案】AC【解析】A选项，，且，错，B选项，∵，∴与共线，∴不能作为平面内所有向量的一组基底，对，C选项，向量是有方向的量，不能比较大小，错，D选项，以向量和的长度为边可构造菱形，满足与的夹角为，对，故选AC。10．已知函数，则下列说法正确的是（）。A、的图像关于直线对称B、的周期为C、是的一个对称中心D、在区间上单调递增【答案】AB【解析】∵函数，函数图像如图所示，由图可知，的对称轴是，∴是的图像的一条对称轴，且的最小正周期为，AB正确，由图像可知是偶函数，无对称中心，且在区间上单调递减，CD错，故选AB。11．已知数列满足，（且），数列的前项和为，则（）。A、B、C、D、【答案】AC【解析】∵，（且），令，则，，∴，A选项正确，B选项错误，∵（且），同除以，得，∴，…，，∴，∴，即，C选项正确，D选项错误，故选AC。12．如图所示，矩形中，，，、分别为边、的中点，将该矩形沿对角线折起，使平面平面，则以下结论正确的是（）。A、平面B、C、D、三棱锥的体积为【答案】ABD【解析】A选项，∵、分别为边、的中点，∴，又平面，平面，∴平面，对，B选项，作于点，连结，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，平面，则，∵，解得，设，由，解得，∴，对，C选项，建立空间直角坐标系如图所示，则、、，∵，，∴，∴，∴，∴，，∵，故与不垂直，错，D选项，三棱锥的体积为，对，故选ABD。三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。13．在正项等比数列中，，则。【答案】【解析】根据题意，正项等比数列中，，则，则。14．函数的导函数展开式的系数为。【答案】【解析】，其展开式中的系数为。15．已知双曲线与椭圆：有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为。【答案】【解析】双曲线与椭圆：有相同的焦点，∴双曲线的焦点坐标，∴，，又双曲线的一条渐近线方程为，∴，∴，，∴双曲线的方程为。16．已知三棱锥外接球的球心在线段上，若与均为面积是的等边三角形，则三棱锥的体积为。【答案】【解析】如图所示，∵三棱锥外接球的球心在线段上，∴，又与均为面积是的等边三角形，设，则，得，即，可得，，∴，∴，设中点，连接、，∴，∴，，又，∴平面，在中，∵，，∴，则。四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）在①、；②且、、成等差数列；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答。问题：记数列的前项和为，已知，求数列的通项公式。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。【解析】选①：、，由题意可知：当时，，解得、，2分当时，，则，解得，5分又当时，满足上式，∴对于任意恒成立，8分∴为首项是，公比是的等比数列，∴。10分选②：当时，，则，解得，2分又、、成等差数列，∴，即，解得，7分∴，∴为首项是，公比是的等比数列，∴。10分选③：∵，∴，2分当时，，4分当时，，则，即，7分经验证，当时，符合，∴。10分18．（本小题满分12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足。（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围。【解析】（1）在中，，∵，∴，1分即，由正弦定理得：，3分∴，∴，4分又，∴，∴；5分（2）由余弦定理得：，∴，6分由正弦定理得：，∴，，7分∴，9分∵，∴，即，∴，，10分∴，∴，，11分即。12分19．（本小题满分12分）自从开始实施生活垃圾分类，这一举措对改善环境污染起到了积极的作用，但其是一个需要长期落实的过程，只有坚持落实，才能持续减少对环境的污染。为了解垃圾分类的落实情况，现某市从人口数量在两万人左右的个社区中随机抽取个社区，对这个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将产生的垃圾量在吨/天及以上的社区确定为“超标”社区：垃圾量频数（以区间中点值作为该组产生的垃圾量）（1）通过频数分布表估算出这个社区这一天产生的垃圾量的平均值；（2）市政府决定从样本中的“超标”社区中选取个检验分类成果，经统计，垃圾量不超过吨/天时可回收率为，垃圾量在吨/天及以上时可回收率为。记为选取社区回收资源量（单位：吨），求的分布列和数学期望（结果精确到）。【解析】（1）根据频数分布表得：，∴这个社区这一天产生的垃圾量的平均值为吨；3分（2）由频数分布表可知，有个“超标”社区，其中个社区一天产生的垃圾量为吨，回收资源量为吨，个社区一天产生的垃圾量为吨，回收资源量为吨，5分可取、、、，∴，，，，8分∴的分布列为：10分∴数学期望。12分20．（本小题满分12分）已知正方体和平面，直线平面，直线平面。（1）证明：平面平面；（2）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的最大值。【解析】（1）证明：连接，则，∵平面，平面，∴，又∵，∴平面，2分∵平面，∴，同理，，∵，∴平面，4分∵平面，过直线作平面与平面相交于直线，则，∴平面；又平面，∴平面平面；6分（2）设正方体的棱长为，以为坐标原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则、、、，7分∴，，设平面的法向量为，则，即，取，则，9分设（），则，∵，∴，设直线与平面所成的角为，则，11分∴当时，取得最大值为，此时的最大值为。12分21．（本小题满分12分）设函数（）。（1）若，求实数的值；（2）当时，，求实数的取值范围。【解析】（1）定义域为，，1分∵，，故，∴，此时，3分当时，，∴在内单调递减，当时，，∴在内单调递增，∴在处取得极小值也是最小值，∴，5分综上所述，；6分（2）时，等价于①，7分若，①式成立，8分若，由（1）可知，∴，当时，①不成立，11分综上所述，实数的取值范围为。12分22．（本小题满分12分）已知椭圆的方程为，斜率为（）的直线与相交于、两点。（1）若为的中点，且，求椭圆的标准方程；（2）在（1）的条件下，若是椭圆的左顶点，，是椭圆的左焦点，要使在以为直径的圆内，求实数的取值范围。【解析】（1）设直线的方程为，、、，∴，，两式相减得，∴，∴，2分∴，∴，解得，∴椭圆的标准方程为；4分（2）联立，得，，即，6分则，，∴，∴，即或，9分若时，则直线的方程为，过，不符合题意，若时，，，∵在以为直径的圆内，∴，∴，∴，∴，∴，即，且，符合，∴或，∴实数的取值范围为。12分