2023届陕西省榆林市第三次模拟考试理科数学试题

绝密★启用前榆林市2022～2023年度第三次模拟考试数学试题(理科)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。2．请将各题答案填写在答题卡上。3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z＝EQ\r(2)i，则()(A)z2＝2(B)z2＝－4(C)z4＝2(D)z4＝42．已知集合A＝{x|0＜x＜16}，B＝{y|－4＜4y＜16}，则A∪B＝()(A)(－1，16)(B)(0，4)(C)(－1，4)(D)(－4，16)3．一个等差数列的前3项之和为12，第4项为0，则第6项为()(A)－2(B)－4(C)1(D)24．已知两个非零向量a＝(1，x)，b＝(x2，4x)，则“|x|＝2”是“a∥b”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5．实轴在y轴上的双曲线的离心率为EQ\r(10)，则该双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为()(A)EQ\f(\r(10),10)(B)EQ\f(1,10)(C)EQ\f(3\r(10),10)(D)EQ\f(3,10)6．某省将从5个A类科技项目、6个B类科技项目、4个C类科技项目中选4个项目重点发展，其中这3类项目都要有，且A类项目中有1个项目已经被选定．则满足条件的不同选法共有()(A)96(B)144种(C)192种(D)206种7．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是2EQ\r(5)，M为A1C1的中点，N是侧面BCC1B1上一点，且MN∥平面ABC1，则线段MN的最大值为()(A)2EQ\r(2)(B)2EQ\r(3)(C)EQ\r(10)(D)38．执行如图所示的程序框图，若输入的a＝2，则输出的k＝()(A)2(B)4(C)6(D)89．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，g(x)的导函数都存在，f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)＜1，且f(1)＝2，g(1)＝1，则f(x)g(x)＜x＋1的解集为()(A)(1，2)(B)(2，＋∞)(C)(0，1)(D)(1，＋∞)10．现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i(i＝1，2，…，16)匹马的日行路程是第i＋1匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为(取1.0517＝2.292)()(A)7750里(B)7752里(C)7754里(D)7756里11．已知a＝log3.43.5＋log3.53.4，b＝log3.53.6＋log3.63.5，c＝logπ3.7，则()(A)a＞b＞c(B)b＞a＞c(C)a＞c＞b(D)b＞c＞a12．已知三棱锥A－BCD中，AB⊥BC，BC⊥CD，CD＝2AB＝2BC＝4，二面角A－BC－D为60°，则三棱锥A－BCD外接球的表面积为()(A)16π(B)24π(C)18π(D)20π第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知奇函数f(x)＝x3＋(a－5)x2＋ax(x∈R)，则f(1)＝▲．14．若不等式ax2－6x＋3＞0对x∈R恒成立，则a的取值范围是▲，a＋EQ\f(9,a－1)的最小值为▲．(本题第一空3分，第二空2分)15．已知函数f(x)＝tan2x与g(x)＝sin(x－eq\f(π,6))的图象在区间[－π，π]上的交点个数为m，直线x＋y＝2与f(x)的图象在区间[0，π]上的交点的个数为n，则m＋n＝▲．16．已知直线y＝x－m与椭圆C：x2＋eq\f(y2,2)＝1于A，B两点，则线段AB的中点P的轨迹长度为▲．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)如图，底面为矩形ABCD的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD．(1)证明：平面PAD⊥平面PCD．(2)若PA＝AD＝3，AB＝1，E在棱AD上，若AD＝3AE，求PE与平面PBD所成角的正弦值．18．(12分)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，EQ\o\ac(AB,\s\up6(→))•EQ\o\ac(AC,\s\up6(→))＝4，且acsinB＝8sinA．(1)求A；(2)求sinAsinBsinC的取值范围．19．(12分)已知1个不透明的袋子中装有6个白球和4个黄球(这些球除颜色外无其他差异)．甲从袋中摸出1球，若摸出的是白球，则除将摸出的白球放回袋子中外，再将袋子中的1个黄球拿出，放入1个白球；若摸出的是黄球，则除将摸出的黄球放回袋子中外，再将袋子中的1个白球拿出，放入1个黄球．再充分搅拌均匀后，进行第二次摸球，依此类推，直到袋中全部是同一种颜色的球，已知甲进行了4次摸球，记袋子中白球的个数为X．(1)求袋子中球的颜色只有一种的概率；(2)求X的分布列和期望．20．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是C上的动点，点P(1，1)不在C上，且|AF|＋|AP|的最小值为2．(1)求C的方程；(2)若直线AP与C交于另一点B，与直线l交于点Q，设EQ\o\ac(QA,\s\up6(→))＝λEQ\o\ac(PA,\s\up6(→))，EQ\o\ac(QB,\s\up6(→))＝μEQ\o\ac(PB,\s\up6(→))，且λ＋μ＝4，求直线l的方程．21．(2023年榆林市三模)(12分)已知函数f(x)＝xlnx．(1)若直线y＝2x＋m与曲线y＝f(x)相切，求m的值；(2)证明：－eq\f(1,e)≤f(x)＜eq\f(ex,2x)(参考数据：e4＞54)．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，曲线M的方程为y＝eq\R(－x2＋4x)，曲线N的方程为xy＝9．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若射线l：θ＝θ0(ρ≥0，0＜θ0＜eq\f(π,2))与曲线M交于点A(均异于极点)，与曲线N交于点B，且|OA|·|OB|＝12，求θ0．23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝|x－a－1|＋|x－2a|．(1)证明：存在a∈(0，＋∞)，使得f(x)≥1恒成立；(2)当x∈[2a，4]时，f(x)≤x＋a，求a的取值范围．绝密★启用前榆林市2022～2023年度第三次模拟考试数学试题解析(理科)1．【答案】D【解析】z＝EQ\r(2)i，z2＝－2，z4＝4，故选(D)．2．【答案】A【解析】因为A＝{x|0＜x＜16}，B＝{y|－1＜y＜4}，所以A∪B＝(－1，16)，故选(A)．3．【答案】B【解析】S3＝3a2＝12，a2＝4，而a4＝0，故a6＝－4，故选(B)．4．【答案】C【解析】非零向量a＝(1，x)，b＝(x2，4x)，a∥bx2＝4|x|＝2，故选(C)．5．【答案】A【解析】因为实轴在y轴上，所以e2＝1＋EQ\f(1,k2)＝10，k＝tanα＝EQ\f(1,3)，sinα＝EQ\f(\r(10),10)，故选(A)．6．【答案】C【解析】满足条件的不同选法共有Ceq\o\al(\o\ac(,\s\up4(1)),\o\ac(,\s\down3(4)))Ceq\o\al(\o\ac(,\s\up4(1)),\o\ac(,\s\down3(6)))Ceq\o\al(\o\ac(,\s\up4(1)),\o\ac(,\s\down3(4)))＋Ceq\o\al(\o\ac(,\s\up4(2)),\o\ac(,\s\down3(6)))Ceq\o\al(\o\ac(,\s\up4(1)),\o\ac(,\s\down3(4)))＋Ceq\o\al(\o\ac(,\s\up4(1)),\o\ac(,\s\down3(6)))Ceq\o\al(\o\ac(,\s\up4(2)),\o\ac(,\s\down3(4)))＝192，故选(C)．7．【答案】A【解析】取B1C1、BB1的中点D、E，则平面MDE∥平面ABC1，所以N在线段DE，MN的最大值为EQ\r(\r(3)2＋\r(5)2)＝2EQ\r(2)，故选(A)．8．【答案】B【解析】执行程序框图，可得下表：a－EQ\f(1,3)－EQ\f(3,2)2k24结束故选(B)．9．【答案】D【解析】令φ(x)＝f(x)g(x)－x－1，则φ'(x)＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)－1＜0，所以φ(x)在(0，＋∞)上递减，而φ(1)＝0，因为f(x)g(x)＜x＋1，所以φ(x)＜φ(1)，解得：x＞1，故选(D)．10．【答案】B【解析】因为第16匹马的日行路程为315里，所以第17匹马的日行路程为EQ\f(315,1.05)＝300里，则这17匹马的日行路程之和为EQ\f(300(1－1.0517),1－1.05)≈7752里，故选(B)．11．【答案】A【解析】令φ(x)＝x＋eq\f(1,x)，则φ(x)在(1，＋∞)上递增，因为log3.43.5－log3.53.6＝eq\f(lg3.5,lg3.4)－eq\f(lg3.6,lg3.5)＝eq\f(lg23.5－lg3.4lg3.6,lg3.4lg3.5)，lg3.4lg3.6＜(eq\f(lg3.4＋lg3.6,2))2＝(eq\f(lg3.4·3.6,2))2＜lg23.5，所以log3.43.5＞log3.53.6＞1，a＝φ(log3.43.5)＞b＝φ(log3.53.6)＞φ(1)＝2，c＝logπ3.7＜2，所以a＞b＞c，故选(A)．12．【答案】D【解析】解法1：作正方形ABCE，则∠DCE＝60°，因为CD＝2AB＝2BC＝4，所以DE⊥EC，故BD为三棱锥A－BCD外接球的直径，即BD2＝4R2＝20，所以球O的表面积是4πR2＝20π，故选(D)．13．【答案】6【解析】因为奇函数f(x)＝x3＋(a－5)x2＋ax(x∈R)，所以a＝5，即：f(1)＝6．14．【答案】(3，＋∞)，7【解析】因为不等式ax2－6x＋3＞0对x∈R恒成立，所以eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(a＞0,△＝36－12a＜0))，解得：a＞3，a＋EQ\f(9,a－1)＝a－1＋EQ\f(9,a－1)＋1≥7，当且仅当a＝4时取等号．15．【答案】7【解析】由图像可得：m＝4，n＝3，则m＋n＝7．16．【答案】EQ\f(2\R(15),3)【解析】解法1：因为kOPkAB＝－2，所以kOP＝－2，而P的轨迹经过坐标原点O，故中点P的轨迹所在的直线方程为y＝－2x，联立eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x2＋eq\f(y2,2)＝1,y＝－2x))可得：x＝±EQ\f(\R(3),3)，故中点P的轨迹长度为eq\r(1＋(－2)2)|EQ\f(\R(3),3)－(－EQ\f(\R(3),3))|＝EQ\f(2\R(