高三理科数学参考答案

２０２２－２０２３下学年高三年级ＴＯＰ二十名校四月冲刺考（一）高三理科数学参考答案１．【答案】 Ｂ【解析】 Ａ＝{ｘ｜ｘ（ｘ－２）＜０}＝{ｘ｜０＜ｘ＜２}，则Ａ∩Ｂ＝{１}．故选Ｂ．２．【答案】 Ｂ【解析】 设复数ｚ，－ｉ，ｉ在复平面内对应的点分别为Ｚ（ｘ，ｙ），Ａ（０，－１），Ｂ（０，１），则｜ｚ＋ｉ｜＝｜ｚ－ｉ｜的几何意义是Ｚ到Ａ的距离和Ｚ到Ｂ的距离相等，则ｚ在复平面内对应的点（ｘ，ｙ）满足ｙ＝０．故选Ｂ．３．【答案】 Ａπππｋπ【解析】 ｙ＝ｃｏｓ２ｘ－＝ｓｉｎ２ｘ．令ｓｉｎ２ｘ＝±１，则２ｘ＝＋ｋπ（ｋ∈Ｚ），即ｘ＝＋（ｋ∈Ｚ），故对(２)２４２π称轴可以是直线ｘ＝．故选Ａ．４４．【答案】 Ｄ【解析】 由函数模型Ｕ（ｔ）＝－Ｕ０ｌｎＫｔ，当ｔ＝５０时，Ｕ（ｔ）＝１５，可得１５＝－２０ｌｎ（５０Ｋ），即１５＝－２０ｌｎ５０－２０ｌｎＫ①．设血液尿酸浓度达到正常值７时，摄入天数为ｔ′，则７＝－２０ｌｎ（ｔ′Ｋ），即７＝－２０ｌｎｔ′－ｔ′ｔ′２ｔ′２２２０ｌｎＫ②，②－①可得－８＝－２０ｌｎ，即ｌｎ＝，则＝ｅ５，ｔ′＝５０ｅ５≈７４．５．故选Ｄ．５０５０５５０５．【答案】 Ａ【解析】 依题意，每个兴趣小组采集３处水样，每处水样至少有１个兴趣小组进行采集，可分为３２１两步．第一步，甲组进行采样，有Ｃ５＝１０种方法；第二步，乙组进行采样，有Ｃ２×Ｃ３＝３种方法，所以共有１０×３＝３０种方法．故选Ａ．６．【答案】 Ａ２３【解析】 由Ａ（３，２３）在ｙ２＝２ｐｘ上，得１２＝２ｐ×３，解得ｐ＝２，则Ｆ（１，０），直线ＡＦ的斜率ｋ＝槡槡３－１＝槡３，倾斜角为６０°．如图，过点Ａ作ｌ的垂线，垂足为Ｈ．由抛物线的定义可知｜ＡＦ｜＝｜ＡＨ｜．在Ｒｔ△ＡＨＢ中，∠ＢＡＨ＝６０°，∴｜ＡＢ｜＝２｜ＡＨ｜，∴｜ＢＦ｜＝｜ＡＢ｜－｜ＡＦ｜＝｜ＡＨ｜，∴｜ＡＦ｜＝｜ＢＦ｜．故选Ａ．７．【答案】 Ｄ【解析】 在△Ａ１ＢＣ１中，因为Ｍ，Ｎ分别为Ａ１Ｂ，Ａ１Ｃ１的中点，所以ＭＮ∥ＢＣ１，又ＢＣ１∥ＡＤ１，所以ＭＮ∥ＡＤ１，故Ａ选项正确；同理，ＭＰ∥ＢＤ，ＭＮ∥ＢＣ１，则ＭＰ∥平面ＢＣ１Ｄ，ＭＮ∥平面ＢＣ１Ｄ，所以【高三理科数学参考答案 （第 １页 共８页）】书平面ＭＮＰ∥平面ＢＣ１Ｄ，故Ｂ选项正确；因为ＭＮ∥ＡＤ１，ＡＤ１⊥ＣＤ，所以ＭＮ⊥ＣＤ，故Ｃ选项正确；取ＢＤ的中点Ｅ，则∠Ａ１ＥＣ１即为二面角Ａ１－ＢＤ－Ｃ１的平面角，易知∠Ａ１ＥＣ１≠９０°，则平面Ａ１ＢＤ与平面ＢＣ１Ｄ不垂直，又平面ＭＮＰ∥平面ＢＣ１Ｄ，故平面ＭＮＰ与平面Ａ１ＢＤ不垂直，故Ｄ选项错误．故选Ｄ．８．【答案】 Ｄ【解析】 在△ＡＢＣ中，｜ＡＣ｜＝｜ＢＣ｜＝槡５．如图，当公共弦ＡＢ最大，即ＡＢ为圆Ｃ′的直径时，２２∠ＡＣＢ最大．此时在Ｒｔ△ＣＣ′Ａ中，｜ＡＣ｜＝槡５，｜ＡＣ′｜＝１，｜ＣＣ′｜＝槡｜ＡＣ｜－｜ＡＣ′｜＝２．故选Ｄ．９．【答案】 Ａ【解析】 设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为Ｘ，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Ｙ；设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为ｎ，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为１ｎ３２－ｎ．Ｘ所有可能的取值为０，１，２，…，ｎ，则Ｘ～Ｂｎ，，Ｅ（Ｘ）＝；Ｙ所有可能的取值为０，１，２，(３)３１３２－ｎ…，３２－ｎ，则Ｙ～Ｂ３２－ｎ，，Ｅ（Ｙ）＝，获胜的业余棋手总人数的期望Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｅ（Ｘ）＋Ｅ(４)４ｎ３２－ｎｎ＋９６（Ｙ）＝＋＝≥１０，解得ｎ≥２４．故选Ａ．３４１２１０．【答案】 Ｂ【解析】 由ａ１＝１，ａ４＝４，ａ２是ａ１与ａ４的等比中项，可知ａ２＝±２．若ａ２＝２，由ａ１＝ａ５＝１，可知ａ６＝２，由ａ３＝－３，可知ａ７＝－３，则ａ８＝ａ４＝４，则数列{ａｎ}：１，２，－３，４，１，２，－３，４，…，是以４为周期的数列，易知前ｎ项和无最大值．若ａ２＝－２，同理可得数列{ａｎ}：１，－２，－３，４，１，－２，－３，４，…，则数列{Ｓｎ}是以４为周期的数列，且Ｓ１＝１，Ｓ２＝－１，Ｓ３＝－４，Ｓ４＝０，所以Ｓｎ的最大值Ｓ＝１．故选Ｂ．１１．【答案】 Ｄ２２２【解析】 如图，将圆台Ｏ１Ｏ补成圆锥ＰＯ．设圆台Ｏ１Ｏ的母线长为ｌ，则ｌ＝ｈ＋（Ｒ－ｒ），等腰梯ｒｘｒｌ形ＡＢＣＤ为过两母线的截面．设ＰＣ＝ｘ，∠ＡＰＢ＝θ，由＝，则有ｘ＝，则Ｓ＝Ｓ－Ｓ＝Ｒｘ＋ｌＲ－ｒ△ＰＡＢ△ＰＣＤ１Ｒ＋ｒ［（ｘ＋ｌ）２－ｘ２］ｓｉｎθ＝ｌ２ｓｉｎθ．当ｈ≥Ｒ－ｒ时，θ≤９０°，当ｓｉｎθ最大时，即截面为轴截面时，２２（Ｒ－ｒ）面积最大，则Ｓ的最大值为（Ｒ＋ｒ）ｈ．当ｈ＜Ｒ－ｒ时，θ＞９０°，当ｓｉｎθ＝１时，截面面积最大，则Ｓ的Ｒ＋ｒ（Ｒ＋ｒ）［ｈ２＋（Ｒ－ｒ）２］最大值为ｌ２＝．故选Ｄ．２（Ｒ－ｒ）２（Ｒ－ｒ）【高三理科数学参考答案 （第 ２页 共８页）】１２．【答案】 Ｃａｌｎ２．４ｌｎ２．４ｌｎ２．４＋ｌｎ３２【解析】 ａ＝ｌｎ２．４＞０，ｂ＝ｌｏｇ２．８＞０，＝＜＝ｌｎ２．４×ｌｎ３＜３(２)ｂｌｏｇ３２．８ｌｏｇ３ｅ２２ｌｎ７．２２ｌｎ２．４２ｌｎ２．４ｌｎ２．４＝＝（ｌｎ７．２）＜（ｌｎｅ）２＝１，则ａ＜ｂ．ｃ＝ｌｇ５．７＜ｌｇ２．４２＝＝＝因２槡()ｌｎ１０ｌｎ１０ｌｎ槡１０为ｌｎ槡１０＞ｌｎｅ＞１，所以ｃ＜ｌｎ２．４＝ａ，则有ｃ＜ａ＜ｂ．故选Ｃ．１３．【答案】 （１，－１）（答案不唯一，横、纵坐标互为相反数即可）【解析】 由题意可知ａ－ｂ＝（３，３），设ｃ＝（ｘ，ｙ），则３ｘ＋３ｙ＝０，取ｘ＝１，则ｙ＝－１，则与ａ－ｂ垂直的非零向量可以为ｃ＝（１，－１）．１４．【答案】 －１１１【解析】 当ｘ＞０时，ｆ′（ｘ）＝．当ｘ＜０时，ｆ′（ｘ）＝－，根据导数的几何意义结合图象，不妨ｘ＋１ｘ＋１１１设ｘ１＜０，ｘ２＞０．因为曲线ｆ（ｘ）在点Ａ，Ｂ处的两条切线互相垂直，所以－·＝－１，整理得ｘ１＋１ｘ２＋１１１ｘ１ｘ２＋ｘ１＋ｘ２＝０，所以＋＝－１．ｘ１ｘ２１０１５．【答案】 槡３ｙ＝ｘ＋ａ，【解析】 不妨设点Ｐ在第二象限，直线ＡＰ的方程为ｙ＝ｘ＋ａ，联立ｂ得点Ｐ的纵坐标ｙ＝ｙ＝－ｘ，Ｐ{ａｙ＝ｘ＋ａ，ａｂａｂａｂ；联立ｂ得点Ｑ的纵坐标ｙ＝．由Ａ为ＰＱ的三等分点，可知ｙ＝－２ｙ，则有＝ａ＋ｂｙ＝ｘ，Ｑｂ－ａＱＰｂ－ａ{ａ２ａｂｃ１０－，整理，得ａ＝３ｂ，则ａ２＝９（ｃ２－ａ２），故Ｃ的离心率ｅ＝＝槡．ａ＋ｂａ３１６．【答案】 ３【解析】 设∠ＡＢＣ＝θ，θ∈（０°，１８０°）．在△ＡＢＣ中，由余弦定理得ＡＣ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２－２ＡＢ·ＢＣｃｏｓθ＝３－１ＡＣｓｉｎθ２槡２ｃｏｓθ，由正弦定理得＝，则ｓｉｎ∠ＡＣＢ＝．在△ＡＣＤ中，ＡＤ＝槡２ＣＤ，∠ＡＤＣ＝ｓｉｎ∠ＡＣＢｓｉｎθＡＣπ２２π４５°，则∠ＡＣＤ＝，ＣＤ＝ＡＣ．在△ＤＣＢ中，由余弦定理得ＢＤ＝ＣＤ＋２－２２ＣＤ·ｃｏｓ＋∠ＡＣＢ＝２槡(２)【高三理科数学参考答案 （第 ３页 共８页）】２ｓｉｎθπＡＣ＋２＋２２ＡＣｓｉｎ∠ＡＣＢ＝３－２２ｃｏｓθ＋２＋２２ＡＣ·＝５＋２２（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）＝５＋４ｓｉｎθ－，槡槡槡ＡＣ槡(４)３ππ２当θ＝时，ｓｉｎθ－取最大值１，则ＢＤ的最大值为９，故ＢＤ的最大值为３．４(４)１７．【答案】 见解析【解析】 （１）设数列{ｂｎ}的公差为ｄ，由ｂ２＋ｂ３＝－１２，得２ｂ１＋３ｄ＝－１２，由ｂ１＝－３，得ｄ＝－２，故ｂｎ＝－２ｎ－１，即ａｎ＋ａｎ＋１＝－２ｎ－１．①………………………………………………………………………（３分）递推，得ａｎ＋１＋ａｎ＋２＝－２ｎ－３，②①－②，得ａｎ－ａｎ＋２＝２，故ａｎ－ａｎ＋２＝２得证．…………………………………………………………………………（６分）（２）法一：若{ａｎ}为等差数列，设公差为ｄ′，由ａｎ＋２－ａｎ＝－２可得，２ｄ′＝－２，ｄ′＝－１．又ａｎ＋ａｎ＋１＝－２ｎ－１，即２ａｎ＋ｄ′＝－２ｎ－１，所以ａｎ＝－ｎ．（－１－ｎ）ｎｎ２ｎ又ａ＝－１，∴{ａ}的前ｎ项和Ｓ＝＝－－．１ｎｎ２２２法二：由ａｎ＋ａｎ＋１＝－２ｎ－１，可知ａ２＝－ａ１－３．又ａｎ＋２－ａｎ＝－２，所以ａ３＝ａ１－２．又{ａｎ}为等差数列，所以ａ１＋ａ３＝２ａ２，即ａ１＋（ａ１－２）＝２（－ａ１－３），解得ａ１＝－１，…………………………………………………（９分）ｎ（ｎ－１）ｎ２ｎ则有ｄ′＝－１，{ａ}的前ｎ项和Ｓ＝－ｎ＋·（－１）＝－－．………………………（１２分）ｎｎ２２２１８．【答案】 见解析６＋１５＋２５＋３４５＋１０＋１５＋１９【解析】 （１）ｘ＝＝２０，ｙ＝＝１２．２５，……………………………（２分）４４４∑ｘｉｙｉ－４ｘｙｉ＝１１２０１－４×２０×１２．２５＾＝＝＝所以ｂ４０．５，………………………………………（４分）２２２０４２－４×４００∑ｘｉ－４ｘｉ＝１所以ａ＾＝ｙ－ｂ＾ｘ＝１２．２５－０．５×２０＝２．２５．所以所求线性回归方程为ｙ＾＝０．５ｘ＋２．２５．…………………………………………………（６分）（２）当ｘ＝４４时，ｙ＾＝０．５×４４＋２．２５＝２４．２５，｜ｙ＾－ｙ｜＝｜２４．２５－２４｜＝０．２５≤１．……………………………………………………………（８分）当ｘ＝５４时，ｙ＾＝０．５×５４＋２．２５＝２９．２５，｜ｙ＾－ｙ｜＝｜２９．２５－３１｜＝１．７５＞１．……………………………………………………………（１０分）故不能用此回归方程估计该海域其他岛屿的植物种数．…………………………………（１２分）１９．【答案】 见解析【解析】 （１）如图，取ＢＤ的中点Ｇ，连接ＡＧ，ＣＧ．因为∠ＢＣＤ＝９０°，ＢＧ＝ＤＧ，所以ＢＧ＝ＣＧ．又因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＧ为公共边，【高三理科数学参考答案 （第 ４页 共８页）】所以△ＡＢＧ≌△ＡＣＧ，所以∠ＡＧＢ＝∠ＡＧＣ．…………………………………………………………………………（２分）同理可得∠ＡＧＣ＝∠ＡＧＤ，所以∠ＡＧＢ＝∠ＡＧＤ．因为∠ＡＧＢ＋∠ＡＧＤ＝１８０°，所以∠ＡＧＢ＝∠ＡＧＣ＝∠ＡＧＤ＝９０°，…………………………………………………………（４分）所以ＡＧ⊥ＢＤ，ＡＧ⊥ＣＧ．又因为ＢＤ∩ＣＧ＝Ｇ，所以ＡＧ⊥平面ＢＣＤ．又因为ＡＧ平面ＡＢＤ，所以平面ＡＢＤ⊥平面ＢＣＤ．………………………………………（５分）→→→（２）过点Ｃ作直线ＣＨ⊥平面ＢＣＤ，以Ｃ为坐标原点，ＣＤ，ＣＢ，ＣＨ的方向分别为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，槡３１设ＡＧ＝ａ（ａ＞０），则Ａ，，ａ，Ｂ（０，１，０），Ｃ（０，０，０），Ｄ（槡３，０，０），(２２)→槡３１→槡３１→则有ＢＡ＝，－，ａ，ＣＡ＝，，ａ，ＣＤ＝（槡３，０，０）．(２２)(２２)设平面ＡＣＤ的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），→３１ｎ·ＣＡ＝０，槡ｘ＋ｙ＋ａｚ＝０，由→得２２{ｎ·ＣＤ＝０，{３ｘ＝０，槡可取ｎ＝（０，２ａ，－１）．设直线ＡＢ与平面ＡＣＤ所成的角为α，→→｜ｎ·ＢＡ｜２ａ则ｓｉｎα＝｜ｃｏｓ〈ｎ，ＢＡ〉｜＝＝．……………………………………（８分）→２２｜ｎ｜｜ＢＡ｜槡４ａ＋１·槡ａ＋１４ａ２４ａ２４４４２＝＝＝＝ｓｉｎα２２４２≤，（４ａ＋１）（ａ＋１）４ａ＋５ａ＋１２１９＋＋２１４ａ２５２４ａ·＋５ａ槡ａ２１２当且仅当４ａ２＝，即ａ＝槡时，等号成立．………………………………………………（１１分）ａ２２因为ＢＤ＝２，ＢＣ＝１，∠ＢＣＤ＝９０°，所以ＣＤ＝槡３，１１３２６此时三棱锥Ａ－ＢＣＤ的体积Ｖ＝Ｓ×ＡＧ＝×槡×槡＝槡，３△ＢＣＤ３２２１２【高三理科数学参考答案 （第 ５页 共８页）】６故当直线ＡＢ与平面ＡＣＤ所成的角最大时，三棱锥Ａ－ＢＣＤ的体积为槡．……………（１２分）１２２０．【答案】 见解析【解析】 （１）不妨设点Ｐ在ｘ轴的上方，由椭圆的性质可知｜ＯＡ｜＝ａ．ａａ因为△ＡＰＯ是以Ｐ为直角顶点的等腰直角三角形，所以Ｐ－，，(２２)ａ２ａ２ｘ２ｙ２４４代入＋＝１，得＋＝１，整理，得ａ２＝３ｂ２．……………………………………………（２分）ａ２ｂ２ａ２ｂ２１ａ４因为△ＡＰＯ的面积为