四川省内江市高中2023届高三第三次模拟考试题数学（文科）试题

内江市高中２０２３届第三次模拟考试题数 学（文科）１．本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共４页。全卷满分１５０分，考试时间１２０分钟。２．答第Ⅰ卷时，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用０．５毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。３．考试结束后，监考员将答题卡收回。第Ⅰ卷（选择题，共６０分）一、选择题：本大题共１２小题，每小题５分，共６０分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．－－１．已知复数２ｚ－ｚ＝１－３ｉ，其中ｉ是虚数单位，ｚ是ｚ的共轭复数，则ｚ＝Ａ．１＋ｉＢ．１－ｉＣ．－１＋ｉＤ．－１－ｉ２２．已知全集Ｕ＝Ｒ，Ｍ＝｛ｘ｜ｘ－４ｘ＋３≤０｝，Ｎ＝｛ｘ｜�ｘ≤２｝，则Ｕ（Ｍ∪Ｎ）＝Ａ．（－∞，０］∪（３，＋∞）Ｂ．（－∞，３）Ｃ．（－∞，１）∪（３，＋∞）Ｄ．（３＋∞）３．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为［０，５０）、［５０，１００）、［１００，１５０）、［１５０，２００）、［２００，３００）和［３００，５００）六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市４月１日至１４日连续１４天的空气质量指数趋势图，则下列说法中正确的是Ａ．从２日到５日空气质量越来越差Ｂ．这１４天中空气质量指数的中位数是２１４Ｃ．连续三天中空气质量指数方差最小是５日到７日Ｄ．这１４天中空气质量指数的平均数约为１８９４．我国古代数学名著《九章算术》中几何模型“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则该四棱锥中棱长的最大值为Ａ．槡２Ｂ．槡５Ｃ．槡６Ｄ．２５．函数ｆ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ＋（ｓｉｎｘ）ｌｎ｜ｘ｜的部分图像大致为高三三模考试数学（文科）试卷第１页（共４页）ｘｌｎｘ６．ｆｘ＝－ａｇｘ＝＋ｂａ＋ｂ＝已知函数（）ｅｘ和（）ｘ有相同的极大值，则Ａ．２Ｂ．０Ｃ．－３Ｄ．－１７．一个人连续射击２次，则下列各事件关系中，说法正确的是Ａ．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件Ｂ．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件Ｃ．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件Ｄ．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件８．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午太阳高度角（即∠ＡＢＣ）约为３２．５°，夏至正午太阳高度角（即∠ＡＤＣ）约为７９．５°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即ＤＢ的长）为１４米，则表高（即ＡＣ的长）３２７ｔａｎ３２．５°≈ｔａｎ７９．５°≈约为（其中，５，５）Ａ．９．２７米Ｂ．９．３３米Ｃ．９．４５米Ｄ．９．５１米９．已知圆锥的母线长为２，侧面积为２槡３π，则过顶点的截面面积的最大值等于Ａ．槡３Ｂ．槡２Ｃ．２Ｄ．３１０．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的ｘ２ｙ２Ｃ＋＝１ａ!ｂ!０６２πＰＣ．ｙ乘积，已知椭圆：ａ２ｂ２（）的面积为槡，点为椭圆的上顶点直线８＝ｋｘＣＡＢＰＡＰＢ－Ｃ与椭圆交于，两点，若，的斜率之积为９，则椭圆的长轴长为Ａ．３Ｂ．６Ｃ．２槡２Ｄ．４槡２π１１．ｆｘ＝ｓｉｎωｘ＋ω!０π２πω若函数（）（５）（）在区间（，）上是单调函数，则的取值可以是４１２Ａ．２Ｂ．Ｃ．Ｄ．５５５３ａ－１１２．ｘｌｎｘ＋ａ－#０ａ若关于的不等式ｘ有且只有一个整数解，则正实数的取值范围是１１Ａ．２ｌｎ２＋１Ｂ．３ｌｎ３＋１(２，](２，]１Ｃ．２ｌｎ２＋１３ｌｎ３＋１Ｄ．ｌｎ２＋３ｌｎ３＋１（，］[２，)高三三模考试数学（文科）试卷第 ２页（共４页）第Ⅱ卷（非选择题，共９０分）二、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分．→→→→→→１３．已知ａ＝４，且ａ⊥（ａ＋２ｂ），则ａ·ｂ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．ｙ≥０，１４．若ｘ，ｙ满足约束条件ｘ－ｙ＋１≥０，则ｚ＝ｌｏｇ２（ｘ＋ｙ－１）的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．{２ｘ＋ｙ－４≤０，ｘ２ｙ２１５．ＦＦ－＝１ａ!０ｂ!０Ｏ设１，２分别是双曲线ａ２ｂ２（，）的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点→１→ＦＦＰｘ２＋ｙ２＝ａ２ＥＰＯＥ＝ＯＰ＋１作直线１与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足２（→→ＯＦＯＥ＝２＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．１），槡，则双曲线的方程为２１６．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为３；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为１．２假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．三、解答题：本大题共６小题，共７０分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．１７．（本小题满分１２分）已知数列{ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ，且满足ａ１＝２，Ｓｎ＋１＝２Ｓｎ＋２．（１）求数列{ａｎ}的通项公式．ｎａｎ（２）记ｂｎ＝，求数列{ｂｎ}的前ｎ项和Ｔｎ．（ｎ＋１）（ｎ＋２）１８．（本小题满分１２分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在８个卖场的销售量（单位：台），并根据这８个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（１）当ａ＝１，ｂ＝１时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为ｍ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为ｎ，比较ｍ，ｎ的大小关系；（２）在这８个卖场中，随机选取２个卖场，求这两个卖场都是甲型号电视机的“星级卖场”的概率；（３）记乙型号电视机销售量的方差为Ｓ２，根据茎叶图推断ａ与ｂ分别取何值时，Ｓ２达到最小值．（只需写出结论）１９．（本小题满分１２分）在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝４５°，ＢＣ＝３，过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ，交线段ＢＣ于点Ｄ（如图１），沿ＡＤ将△ＡＢＤ折起，使∠ＢＤＣ＝９０°（如图２），点Ｅ、Ｍ分别为棱ＢＣ、ＡＣ的中点．高三三模考试数学（文科）试卷第 ３页（共４页）（１）求证：ＣＤ⊥ＭＥ；（２）在图２中，当三棱锥Ａ－ＢＣＤ的体积取最大值时，求三棱锥Ａ－ＭＤＥ的体积．２０．（本小题满分１２分）若存在实数ｋ，ｂ，使得函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）对其定义域上的任意实数ｘ同时满足：ｆ（ｘ）≥ｋｘ＋ｂ且ｇ（ｘ）≤ｋｘ＋ｂ，则称直线：ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｂ为函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）的“隔离直线”．已知ｆ（ｘ）＝ｘ２，ｇ（ｘ）＝２ｅｌｎｘ（其中ｅ为自然对数的底数）．试问：（１）函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）的图象是否存在公共点，若存在，求出公共点坐标，若不存在，说明理由；（２）函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由．２１．（本小题满分１２分）ｘ２ｙ２３Ｃ＋＝１ａ!ｂ!０２槡．已知椭圆：ａ２ｂ２（）的焦距为，一条连接椭圆的两个顶点的直线斜率为２（１）求椭圆Ｃ的方程；（２）过椭圆Ｃ右焦点Ｆ且不与ｘ轴重合的直线与椭圆Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，试问ｘ轴上是否存在点Ｐ，使得直线ＡＰ，ＰＢ斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点Ｐ的坐标；若不存在，说明理由．请考生在第２２、２３题中任选一题作答，并用２Ｂ铅笔将所选题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．２２．（本小题满分１０分）在平面直角坐标系中，将曲线Ｃ１向左平移２个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横１ＣＯｘ坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的２得到曲线２，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线Ｃ１的极坐标方程为ρ＝４ｃｏｓα．（１）求曲线Ｃ２的参数方程；（２）已知点Ｍ在第一象限，四边形ＭＮＰＱ是曲线Ｃ２的内接矩形，求内接矩形ＭＮＰＱ周长的最大值，并求周长最大时点Ｍ的坐标．２３．（本小题满分１０分）已知函数ｆ（ｘ）＝｜２ｘ－４｜＋｜ｘ２＋ａ｜（ｘ∈Ｒ）．（１）若ａ＝１，求证：ｆ（ｘ）≥４；（２）若对于任意ｘ∈［１，２］，都有ｆ（ｘ）≤４，求实数ａ的取值范围．高三三模考试数学（文科）试卷第 ４页（共４页）内江市高中２０２３届第三次模拟考试题数学（文科）参考答案及评分意见一、选择题（本大题共１２小题，每小题５分，共６０分．）１．Ｂ ２．Ａ ３．Ｄ ４．Ｃ ５．Ａ ６．Ｂ ７．Ｄ ８．Ｃ ９．Ｃ １０．Ｂ １１．Ｄ １２．Ａ二、填空题（本大题共４小题，每小题５分，满分２０分．）ｘ２ｙ２７１３．－８ １４．１ １５．－＝１ １６．２８２４三、解答题（共７０分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答，第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答．）１７．解：（１）当ｎ＝１时，由Ｓｎ＋１＝２Ｓ＝２得：Ｓ２＝２Ｓ１＋２，即ａ１＋ａ２＝２ａ１＋２，又ａ１＝２，∴ａ２＝４；１分当ｎ≥２时，ａｎ＋１＝Ｓｎ＋１－Ｓｎ＝２Ｓｎ＋２－２Ｓｎ－１－２＝２ａｎ，３分又ａ１＝２，ａ２＝４满足ａ２＝２ａ１，即当ｎ＝１时，ａｎ＋１＝２ａｎ成立，４分ｎ∴数列{ａｎ}是以２为首项，２为公比的等比数列，∴ａｎ＝２（ｎ∈Ｎ）６分ｎ·２ｎ２ｎ＋１２ｎ（２）由（１）得：ｂｎ＝＝－，９分（ｎ＋１）（ｎ＋２）ｎ＋２ｎ＋１２２２１２３２２２４２３２ｎ２ｎ－１２ｎ＋１２ｎ２ｎ＋１∴Ｔ＝－＋－＋－＋＋－＋－＝－１１２ｎ３２４３５４…ｎ＋１ｎｎ＋２ｎ＋１ｎ＋２分１８．解：（１）根据茎叶图可知甲组数据的平均数为１０＋１０＋１４＋１８＋２２＋２５＋２７＋３４＝２０１８，分１０＋２０＋２２＋２３＋３１＋３２＋３１＋３１＝２５２乙组数据的平均数为８，分甲型号电视机的“星级卖场”数量为ｍ＝４，乙型号电视机的“星级卖场”数量为ｎ＝４所以ｍ＝ｎ；４分（２）由（１）知，甲型号电视机的“星级卖场”数量为４，设选取的两个卖场都是甲型电视机的“星级卖场”设为事件Ｍ，设甲型号电视机的“星级卖场”分别为ａ，ｂ，ｃ，ｄ，甲型号电视机的非“星级卖场”分别为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，从这８个卖场中，随机选取２个卖场，有ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，Ａａ，Ａｂ，Ａｃ，Ａｄ，ＢＣ，ＢＤ，Ｂａ，Ｂｂ，Ｂｃ，Ｂｄ，ＣＤ，Ｃａ，Ｃｂ，Ｃｃ，Ｃｄ，Ｄａ，Ｄｂ，Ｄｃ，Ｄｄ，ａｂ，ａｃ，ａｄ，ｂｃ，ｂｄ，ｃｄ，共计２８个６分其中满足条件为ａｂ，ａｃ，ａｄ，ｂｃ，ｂｄ，ｃｄ，共计６个８分６３ＰＭ＝＝１０所以，（）２８１４分（３）ａ＝ｂ＝０当时，ｓ２达到最小值．１２分１９．解：（１）证明∵ＣＤ⊥ＡＤ，ＣＤ⊥ＢＤ，ＡＤ∩ＢＤ＝Ｄ，ＡＤ、ＢＤ平面ＡＢＤ，∴ＣＤ⊥平面ＡＢＤ，∵ＡＢ平面ＡＢＤ，∴ＣＤ⊥ＡＢ２分又∵Ｍ，Ｅ分别为ＡＣ，ＢＣ的中点，∴ＭＥ∥ＡＢ，４分∴ＣＤ⊥ＭＥ５分（２）图１所示的△ＡＢＣ中，设ＢＤ＝ｘ（０#�３），则ＣＤ＝３－ｘ，高三三模考试数学（文科）试题答案第１页（共４页）∵ＡＤ⊥ＢＣ，∠ＡＣＢ＝４５°，∴△ＡＤＣ为等腰直角三角形，∴ＡＤ＝ＣＤ＝３－ｘ．折起后ＡＤ⊥ＤＣ，ＡＤ⊥ＢＤ，且ＢＤ∩ＤＣ＝Ｄ，ＢＤ、ＤＣ平面ＢＣＤ，∴ＡＤ⊥平面ＢＣＤ，７分１∠ＢＤＣ＝９０°∴Ｓ＝ｘ３－ｘ又，△ＢＣＤ２（），１１１１Ｖ＝ＡＤ．Ｓ＝３－ｘｘ３－ｘ＝ｘ３－６ｘ２＋９ｘｘ∈０３８Ａ－ＢＣＤ３△ＢＣＤ３（）２（）６（），（，），分１１ｆｘ＝ｘ３－６ｘ２＋９ｘｆ′ｘ＝ｘ－１ｘ－３令（）６（），（）２（）（），当０#ｘ#１时，ｆ′（ｘ）!０；当１#ｘ#３时，ｆ′（ｘ）#０，∴ｘ＝ＢＤ＝１时，三棱锥Ａ－ＢＣＤ的体积最大９分１１ＢＤ⊥ＡＣＤＥＢＣＥＡＣＤＢＤ＝．１０又易知平面，因为为线段的中点，所以到平面的距离为２２分１１１