2023年普通高等学校招生考试数学模拟试题一（衡水密卷）

2023年普通高等学校招生考试模拟试题一（衡水密卷）数学本试卷共4页,22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答;选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若,则A. B. C. D.2.已知集合,若,则实数的取值范围是A. B. C. D.3.已知平面向量满足,则A. B. C. D.334.分形几何学是数学家伯努瓦-曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科,它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.记图2中第行黑圈的个数为,若,则A.5 B.6 C. D.5.已知直线与圆相交于两点,则的面积为A. B. C. D.56.已知正方体的棱长为分别为棱的中点,点是棱上靠近点的三等分点,则平面截该正方体所得截面的面积为A. B. C.10 D.127.某大型超市设立了“助农促销”专区,销售各种农产品,积极解决农民农副产品滞销问题.为加大农产品销量,该超市进行了有奖促销活动,凡购买专区的农产品每满100元的顾客均可参加该活动,活动规则如下:将某空地划分为(1)(2)(3)(4)四个区域,顾客将一皮球投进区域(1)或者(2)一次,或者投进区域(3)两次,或者投进区域(4)三次,便视为中奖,投球停止,且投球次数不超过四次.已知顾客小王每次都能将皮球投进这块空地,他投进区域(1)与(2)的概率均为,投进区域(3)的概率是投进区域(1)的概率的2倍,且每次投皮球相互独立.小王第二次投完皮球首次中奖的概率记为,第四次投完皮球首次中奖的概率记为,若,则的取值范围为A. B. C. D.8.已知双曲线的左焦点为,双曲线上的两点关于原点对称(其中点在双曲线的右支上),且,双曲线上的点满足,则双曲线的离心率为A. B. C. D.二、选择题;本题共4小题，每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分。9.2022年秋,我国南方某地脐橙大丰收，甲、乙两名网红主播为帮助该地销售脐橙，开启了连续10天针对该地脐橙的直播带货专场,下面统计图是甲、乙两名主播这10天的带货数据：则下列说法中正确的有：A.甲主播10天带货总金额超过乙主播10天带货总金额B.乙主播10天带货金额的中位数低于82万元C.甲主播10天带货金额的极差小于乙主播10天带货金额的极差D.甲主播前7天带货金额的标准差大于乙主播前7天带货金额的标准差10.已知,则下列不等式一定成立的有A. B. C. D.11.如图,已知圆雉的顶点为,底面的两条对角线恰好为圆的两条直径,分别为的中点,且,则下列说法中正确的有A.平面B.平面平面C.D.直线与所成的角为12.已知函数若关于的方程至少有8个不等的实根,则实数的取值不可能为A.-1 B.0 C.1 D.2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2022年卡塔尔世界杯期间,3男3女共6位球迷赛后在比赛场地站成一排合影留念,则男、女球迷相间排列的概率为_________.14.勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,若椭圆的一个焦点把长轴分成长度分别为的两段,且恰好为一组勾股数,则的一个标准方程为_________.(写出满足条件的一个即可)15.已知函数,若,对于任意的都有,且在区间上单调,则的最大值为_________.16.已知函数有两个极值点，且，则实数的取值范围为_________.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)已知数列的前项和为,且,_______.请在(1);(2)成等比数列;(3),这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下列问题.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.18.(本小题满分12分)沙漠治理能使沙漠变成一片适宜居住的地方,不让沙漠扩大化.近30年来,我国高度重视防沙治沙工作,相继采取了一系列重大举措加快防沙治沙步伐,推动我国防沙治沙事业.我国某沙漠地区采取防风固沙、植树造林等多措并举的方式,让沙漠变绿洲,通过统计发现,该地区沙漠面积(单位:公顷)与时间(单位:年)近似地符合)回归方程模型(以2016年作为初始年份,的值为1),计算2016年至2022年近7年来的与的相关数据,得,(其中表示第年,(1)求关于的回归方程;(2)从2016年起开始计算,判断第24年该地区所剩的沙漠面积是否会小于75公顷.附:对于一组数据,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为.19.(本小题满分12分)已知的内角所对的边分别为.(1)若,求证:是等边三角形;(2)已知的外接圆半径为,求的最大值.20.(本小题满分12分)如图,在四棱雉中,为等边三角形,,且,平面底面.(1)证明:平面;(2)点为棱的中点,求二面角的正弦值.21.(本小题满分12分)已知点在抛物线上,过点的直线与相交于两点,直线分别与轴相交于点.(1)当弦的中点横坐标为3时,求的一般方程;(2)设为原点,若,求证:为定值.22.(本小题满分12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)设函数,求证:当时,恰有两个零点.参考答案一、选择题1.B【解析】由已知得,故.故选B.2.A【解析】由已知得,由,得,所以.故选.3.C【解析】因为,所以,则,所以,即.故选C.4.C【解析】已知表示第行中的黑圈个数,设表示第行中的白圈个数,由于每个白圈产生下一行的1个白圈1个黑圈,一个黑圈产生下一行的1个白圈2个黑圈,,又.故选C.5.B【解析】圆的方程为,故圆心坐标为,半径,点到线段的距离为，的面积.故选B.6.B【解析】如图所示,分别是中点,则,作,交于,连接,并延长交的延长线于点,连接,并延长交的延长线于点,连接交于点,交于点,则为过三点的截面.由面面平行的性质定理得,从而有,则,因为是中点,,所以,又因为,所以,同理,梯形是等腰梯形,且梯形与梯形全等,高为,截面面积.故选B.7.C【解析】小王投进区域(3)的概率为,投进区域(4)的概率为,故.小王第二次投完皮球后,首次中奖包含“第一次区域(1)(2)均末投中,第二次投中区域(1)或(2)”和“第一次与第二次均投中区域(3)两个事件,则概率为.第四次投完皮球后,首次中奖,需前三次投完后有一次投进区域(3),有两次投进区域(4),因此,令,得,解得,又,所以.故选C.8.A【解析】如图所示,为双曲线右焦点,则由,得四边形为平行四边形,又由,可得,可得四边形为矩形.设,则,在中,由余弦定理得,即,即①,在Rt中,,即(2),联立(1)(2)解得,,代人②,得,解得.故选A.10.BD【解析】由,得,当时,得0,即;当时,得,即,综上或,上述两种情况均可得,故选项错误;当时,得,当时,得,故B选项正确;令,则,,从而得,故C选项错误;由上述论证可知恒成立,故D正确.故选BD.11.【解析】由已知可得四边形为正方形,且四棱雉各棱长均相等,由分别为的中点,可得,又平面,平面,所以平面,故选项正确;又分别为的中点,所以,又平面平面,故平面,而,且平面平面,所以平面平面,故B选项正确;设,则,所以,即,由B选项可知,所以,故C选项正确;,故(或其补角)即为异面直线与所成的角,而,故选项错误.故选ABC.12.AD【解析】由,得,解得或,作出的图象如图所示,若,则或,设,由,得,此时或.当时,,有2个不等的实根;当时,,有2个不等的实根,所以有4个不等的实根,若原方程至少有8个不等的实根,则必须有且至少有4个不等实根,若,由,得或有1个根,有3个不等的实根,此时有4个不等的实根,满足题意;若,由,得有1个根,不满足题意;若,由,得有1个根,不满足题意;若,由,得或或,当有1个根,当时,有3个不等的实根,当时,有3个不等的实根,此时共有7个不等的实根,满足题意.综上实数的取值范围为.故选AD.三、填空题13.【解析】6位球迷站成一排的不同方法数为,其中男、女球迷相间排列的方法数为,所以所求的概率为.14.或或或(答案不唯一,写出一个即可)【解析】含10的勾股数有,不妨令,则有或解得或当时,;当时,.故椭圆的标准方程为或或或.15.18【解析】由于,则的图象关于直线对称,①,②,①-②得,令,则的最小正周期在区间上单调,,解得,当时,,则②式为,又-2,此时,当时,此时不单调,不符合题意,舍去;当时,,则②式为,又，当时,,当时,,此时,当时,,此时单调,符合题意.故的最大值为18.16.【解析】,因为是函数的两个极值点,所以和是函数的两个零点,即是方程的两个不相等的实数根,显然不符合方程0,所以和是方程的两个根,所以函数的图象与直线有两个不同的交点,交点横坐标分别为,由于,所以当或时,;当时,,故的减区间为和,增区间为,当时,,且,当且时,;当时,时,,且;当时,时,.作出的草图如图所示,由图可知,若有两个交点,应,且,因为,取,并令,则,所以,解得,此时,得,若需,即实数的取值范围是.17.解:(1)由题可知,即,所以数列是首项为,公差为2的等差数列.若选(1):由,得,即,所以,解得,所以,即数列的通项公式为.若选(2):因为成等比数列,所以,即,解得,所以,即数列的通项公式为.若选(3):由,得,即,所以,即数列的通项公式为.(2)由(1)得,令,得,所以当时,,当时,综上所述，18.解:(1)由表中数据可得,因为,设关于的线性回归方程为,则，则,故关于的回归方程为.(2)由回归方程可知,随着的增大,逐渐减小,当时,,故第24年该地区所剩的沙漠面积会小于75公顷.19.解:(1)由正弦定理得，，，，由,则,即,,整理得.,,则,,为等边三角形.(2)由(1)得,由正弦定理得,由余弦定理得,20.解:(1),,又平面平面,平面平面平面,平面.(4分)(2)取的中点,连接,为等边三角形,且是的中点,.又平面平面,平面平面平面,平面,四边形为矩形,又平面两两垂直,故以为坐标原点,分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,则.设平面的法向量为,令,得.设平面的法向量为,则，令,得.设二面角的大小为,由图可知为锐角,则,二面角的正弦值为.21.解:(1)由点在抛物线上,所以,所以抛物线的方程为.设直线的方程为.由得.依题意,解得且.且.因为弦的中点横坐标为3,所以,即,解得或,所以的一般方程为或.(2)直线的方程为.令,得点的纵坐标为.所以,同理得点的坐标为.由,得,.所以.所以,即为定值.22.解:(1)的定义域为,,当时,,在上单调递增;当时,,在上单调递增;当时,令,得,此时单调递增,令,得,此时单调递减;当时,,在上单调递减.综上所述,当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递减.(2)当时,,令,则，(1)当时,,所以在上单调递减,又因为,所以在上有唯一的零点.当时,单调递增;当时,单调递减,所以在上存在唯一的极大值点,且所以,又因为所以在上恰有一个零点.又因为,所以在上也恰有一个零点.所以在上有两个零点.(2)当时,因为,所以,设,所以在上单调递减,所以,所以当时,恒成立,所以在上没有零点.(3)当时,,设,所以在上单调递减,所以所以当时,恒成立，所以在上没有零点.综上,恰有两个零点.