济洛平许2022—2023学年高三第四次质量检测理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合U=R,A={x|x²−4x+3≤0},B={x|10,b>0)的两条渐近线为l₁，l₂，左焦点为F，若点F关于直线l₁的对称点恰在直线l₂上，则双曲线的离心率为A.2 B.3 C.2 D.56. 下述四个结论：①命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a=0,则ab≠0”;②x²−5x−6=0是x=−1的必要而不充分条件;③若命题“¬p”.与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“∃x₀∈R,ln(x₀+1)≥x₀”的否定是‘“∀x∈R,ln(x+1)≤x”其中所有正确结论的序号是A.①② B.②③ C.④ D.②③④7. 已知f(x)+1在R上单调递增,且为奇函数.若正实数a,b满足f(a−4)+f(b)=−2,则1a+2b的最小值为A.34+22 B.34+2 C.3+22 D.32+28. 已知数列{aₙ}满足an+1+anan+1−an=2n,a1=1,则a2023=A.2023 B.2024 C.4045 D.40479. 已知a=sin0.9,b=0.9,c=e−0.1,d=cos0.9,则a,b,c,d的大小关系是A.a>b>c>d B.b>c>a>dC.c>b>a>d D.b>a>d>c10. 在正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中,M,N分别为AD,C₁D₁的中点,则下列结论正确的个数为①MN//平面AA₁C₁C②MN⊥B₁C③直线MN与AC₁所成角的余弦值为223④过M，N，B₁三点的平面截正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁.所得的截面为梯形A.1B.2C.3D.411.若函数f(x)=2lnx−ax²在2e上存在两个零点，则a的取值范围是A.ln221eB.2e21eC.2e2ln22D.1e21e12. P为抛物线Γ:y²=2px(p>0)上任意一点，F为抛物线的焦点.如图,M(3,2),|PF|+|PM|的最小值为4,直线l:y=x与抛物线Γ交于点N，点A，B在线段ON上，点C，D在抛物线Γ上.若四边形ABCD为菱形,且AD⊥x轴,则|AB|= A.6−42B.62−8 C.12−82D.122−16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 已知(2x−1)n的二项式系数之和为64,则展开式中x²的系数为______(用数字作答).14. 已知向量e₁=(cosα,sinα),e₂=(cosβ,sinβ),m=(0,1),若e₁+e₂=m,则e₁·e₂=.15. 已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，{bₙ}是等比数列且(b>0,cₙ=aₙ+bₙ,数列{Cₙ}的前n项和为Tn,若S14=7a10+3,b5=b24=16,则T9=.16. 三棱锥P−ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，已知P到平面ABC的距离为7，AB⊥AC,BC=6.记PA与平面ABC所成的角为θ,则sinθ的取值范围为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17. (12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2acosC−b,c2+a2=b2+3ac,b=2.(1)求A;(2)若M,N在线段BC上且和B,C都不重合,∠MAN=π3,求ΔAMN面积的取值范围.18. (12分)为进一步加强学生的文明养成教育，推进校园文化建设，倡导真善美，用先进人物的先进事迹来感动师生，用身边的榜样去打动师生，用真情去发现美，分享美，弘扬美，某校以争做最美青年为主题，进行“最美青年”评选活动，最终评出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生、学校准备从这10位“最美青年”中每次随机选出一人做事迹报告.(1)若每位“最美青年”最多做一次事迹报告，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B,求P(B),P(B|A);(2)根据不同需求，现需要从这10位“最美青年”中每次选1人，可以重复，连续4天分别为高一、高二、高三学生和全体教师做4场事迹报告，记这4场事迹报告中做报告的男生人数为X，求X的分布列和数学期望.19. (12分)如图,四边形ABCD为菱形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,BD=2ED=22FB. (1)证明:平面EAC⊥平面FAC;(2)若∠BAD=60°,求二面角F−AE−C的大小.20. (12分)椭圆C:x2a2+y2b2=1ab>0)的短轴长为2，离心率为32,过点P(3，0)的直线l与椭圆C交于M、N两点.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上是否存在点Q,使得直线MQ,NQ与直线x=3分别交于点A,B,且|PA|=|PB|?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.21. (12分)已知函数fx=exlnx,gx=m+xex−x2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若方程f(x)=g(x)的两个解分别为x₁,x₂,求证:x₁x₂<1.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22. [选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为x=t2+1t2,y=t2−1t2(t为参数).以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为(2，π)，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4cosθ,曲线C₁C₂的交点为P₁,P₂.(1)求C₁和C₂的直角坐标方程；(2)圆C₃经过P₁,P₂,M三点,过原点的两条直线l₁,l₂分别交圆C₃于A,B和C,D四点,求证:|QA|·|OB|=|OC|·|OD|.23. [选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数g(x)=|x−11的最小值为m,f(x)=g(x)+|x|的最小值为n.实数a，b，c满足a+b+c=m,abc=n,a≠b,c>0.(1)求m和n;(2)证明:a+b<−34.济洛平许2022—2023学年高三第四次质量检测理科数学参考答案一、选择题：BACDCBACCBAD二、填空题：13.6014.15.53816.三、解答题：17. 解：由得由正弦定理得.所以.……………………4分又因为，所以，所以，所以.……………………6分（2）由得，故.因为，所以.所以.……………………7分由（1）可知，，设,则,,.在中，由正弦定理可知.…………8分在中，由正弦定理可知.……………9分故…10分.因为，所以，所以.所以.所以.即.……………………12分18. 解：（1）由题意可得：.……………………2分“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，则，.……………………4分故.……………………6分（2）被抽取的4次中男生人数X的取值为0，1，2，3，4且.……………………7分;;;.X01234PX的分布列：……………………11分X的数学期望. ……………………12分19. (1)证明：设BD交AC于点O，连接EO，FO，因为四边形ABCD为菱形，所以.因为ED平面ABCD,AC平面ABCD，所以.又，所以平面BDEF；所以.……………………2分设FB=1，由题意得ED=2，.因为FB//ED，所以FB平面ABCD，所以，，.因为，所以.……………………4分因为，所以EO平面ACF.……………………5分又EO平面EAC，所以平面EAC平面FAC.……………………6分取EF中点G，连接OG，所以OG//ED，OG底面ABCD.以O为原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，……7分因为，由（1）中所设可知，所以，,所以.所以，，.……………………8分设平面FAE的一个法向量为，则所以.………………9分同理，可求得平面AEC的一个法向量.……………………10分所以.……………………11分所以二面角的大小为……………………12分解：（1），则. …………3分所以椭圆的方程为. …………4分 （2）当l斜率不为0时,设，联立.………5分.设，则. ……………………6分直线，令得. ……………………7分同理可得. ……………………8分于是.若，则由，与直线的任意性矛盾；…………………9分若，则.……………11分所以点的坐标为或(当l斜率为0时也成立).……………………12分解：（1）对函数求导可得：， …………………1分令则.当单调递减，单调递增. ………2分所以，所以，，在上单调递增. ……………………3分故的单调递增区间是，无递减区间. ……………………４分（2）若方程有两个解，，不妨设，原方程可以变形为：，设，，由，得， ……………………6分因为函数是增函数，所以，则，设，则，， ……………………8分欲证，即证，只需证（*） ……………………9分设，，，在上，，单调递减，所以，所以，令即得（*）成立，从而，命题得证． ……………………１2分22. 解：（1）曲线的极坐标方程为，根据公式可得：，所以曲线直角坐标方程为：. ……………………2分曲线的参数方程为（t为参数），即：.又,所以曲线的普通方程为. ……………………5分（2）曲线，的交点为，，点M的坐标为.……………………6分圆的方程为：.其极坐标方程为. …………………7分设直线，的极坐标方程分别为R)，R)，分别代入圆的极坐标方程得，,; ……………………8分,. ……………………9分所以有. ……………………10分23. 解：（1）函数的最小值为m=0. ……………………2分函数, ……………………3分函数在上单调递减，在上单调递增，， ……………………4分所以函数的最小值为n=1. ……………………5分（2）由（1）知. ……………………6分因为，所以， ……………………7分又因为 ……………………8分所以，又，所以,所以. ……………………9分所以. ……………………10分