湖南省岳阳县第一中学2024届高三上学期开学考试数学试题

岳阳县一中2021级高三上学期入学考试数学试卷总分：150分时量：120分钟一．选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．集合A＝{x|x2+px+q＝0，x∈R}＝{2}，则p+q＝（ ）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．在下列函数中，为偶函数的是（ ）A．f（x）＝x﹣cosx B．f（x）＝xcosx C．f（x）＝ln|x| D．3．函数f（x）＝log2x+2x﹣1的零点所在区间为（ ）A． B． C． D．4．若α、β是两个不重合的平面，①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②设α、β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；③若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；以上说法中成立的有（ ）个．A．0 B．1 C．2 D．35．函数在上的大致图象为（    ）A． B．C． D．6．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）A．91m B．74m C．64m D．52m7．若正实数x、y满足x+y＝1，则的最小值为（ ）A． B． C． D．18．已知函数，若a、b、c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（ ）A．（5，10） B．（5，8） C．（6，8） D．（8，10）二．多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。）9．已知命题p：“∀x∈R，x2+2x3+x4≥0”，则（ ）A．¬p：∃x∈R，x2+2x3+x4＜0 B．¬p：∀x∈R，x2+2x3+x4＜0 C．p是假命题 D．p是真命题10．已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为M，则下列说法错误的是（ ）A．M＝∅，则a＜0，Δ＜0 B．若M＝（﹣1，3），则关于x的不等式﹣cx2﹣bx﹣b＞cx+4a的解集为 C．若M＝{x|x≠x0，x0为常数}，且a＜b，则的最小值为 D．若a＜0，ax2+bx+c＜0的解集M一定不为∅11．已知直线y=a与曲线相交于A，B两点，与曲线相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则（    ）A． B． C． D．12．正方形中，为中点，为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ）A．当为线段上的中点时，B．的最大值为C．的取值范围为D．的取值范围为三．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。）13．“x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为 ．14．已知正数x，y满足x（x+2y）＝9，则的最大值为 ．15．设函数当a＝0时，f（x）的值域为 ；若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是 ．16．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体的体积为，则原正方体的外接球的表面积为．四．解答题（共6小题，共70分）17．（10分）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.18．（12分）甲乙两人进行象棋比赛，先胜三局的人晋级，假设甲每局获胜的概率为（不考虑平局），(1)若比赛三局后结束，求甲晋级的概率；(2)若已知晋级的是甲，求比赛三局后结束的概率.19．（12分已知等差数列的前n项和为，且，，数列满足，．(1)求数列，的通项公式；(2)记，若数列的前n项和为，数列的前n项和为，探究：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．20．（12分）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．  (1)证明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．21．（12分）已知函数，e是自然对数的底数，若，且恰为的极值点.（1）证明：；（2）求在区间上零点的个数．22．（12分）已知双曲线：，设是双曲线上任意一点，为坐标原点，为双曲线右焦点，，为双曲线的左右顶点.（1）已知：无论点在右支的何处，总有，求的取值范围；（2）设过右焦点的直线交双曲线于，两点，若存在直线，使得为等边三角形，求的值；（3）若，，动点在双曲线上，且与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线：分别相交于点和，试问：是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，试说明理由.