2023年8月12日TACA清华大学丘成桐领军计划零试数学试题

2023年8月学科能力综合测试(TACA)丘成桐数学零试试题题1.在如图所示的方格网中，每步只能从一个节点向右或向上走到相邻的节点，则从A到的路径数为Z.()∑∞−(−1)n2n5π3π题2.对一个复方阵，定义cosA=I+(2n)!A.记矩阵cos的第二行n=1−10π6π第一列元素为x，则[|x|]=.∫题3.I=lim2023cos4(nx+n!)dx，则[100I]=.→∞1n∫5∫题设π(sint)，记π，则4.g(x)=xtdtS=0g(x)dx[100S]=.题5.n×n矩阵An的主对角元素为n，其余元素为1.已知多项式f(x)满足f(An)=O对任意16n6100均成立，则degf的最小值为.第1页（共3页）{#{QQABKYiUggCgAAAAABgCQQ0gCgEQkBGACAgGRAAAMAIASAFABAA=}#}题6.矩阵10−9−9−910−9−−9109−910−9−−9109−−9109−910−9−9−910的特征值为λ6λ6···6λ，则[λ]=.1286题7.在透明的球袋中有1个黑球和2个白球.接下来从袋中摸球，每次摸出一个球，然后放回袋中，并继续往袋中再放入2个与摸出球同色的球.记Sn为前n次中摸出黑球的次数.已知第2次摸出的球是黑球，记S100的期望为E，则[E]=.dd题8.对矩阵M(t)，定义其微分dtM(t)=B(t)，其中dtMij(t)=Bij(t).矩阵微分方程dM(t)=AM(t),dt其中213321A=132,M(0)=213,321132令a=ln|detM(2)|,则[|a|]=.题9.5级方阵A满足：第一行元素均为1，第二行元素从左至右依次为1,−1,1,−1,1，′且trace(AA)=28.记detA的最大值为M，则[M]=.∫题对，令1dn2−n，1||2，则||10.n=5Ln=n!dxn(x1)S=−1Lndx[S]=.第2页（共3页）{#{QQABKYiUggCgAAAAABgCQQ0gCgEQkBGACAgGRAAAMAIASAFABAA=}#}题11.正方体旋转群元素最多的两个共轭类的元素个数之和为.∑∞∑∞m!·xm·n!2题12.A(x)=(m+n+1)!，则[100A(3)]=.m=1n=0···−···题13.将方程(1+2++k)3(1+2++t)=1的全体正整数解(k,t)按照从小到大的方式排列，得到序列{(kn,tn)}，则k6=.∫[]题π/4101，则114.I=0tanxdx3I.6题15.Mn={A|A是n级实对称矩阵,且元素取自0,±1,±2}，记an为所有trace(A)(A∈anMn)的平均值，a=limsupn>k4，则[a]=.k→∞n第3页（共3页）{#{QQABKYiUggCgAAAAABgCQQ0gCgEQkBGACAgGRAAAMAIASAFABAA=}#}