河南省焦作市博爱县第一中学2023-2024学年高三上学期定位考试数学试题

2023-11-23 · 17页 · 859.8 K

焦作市博爱一中2023—2024学年高三年级(上)定位考试数学考生注意:1.开考前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动,用橡皮檫干净后,再涂选其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则能使成立的实数a的取值的集合是().A. B. C. D.2.已知,,,若不等式恒成立,则m的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.73.对于问题“求证方程只有一个解”,可采用如下方法进行证明“将方程化为,设,因为在R上单调递减,且,所以原方程只有一个解”.类比上述解题思路,则不等式的解集是()A. B.C. D.4.若复数z所对应的点在第四象限,且满足,则()A. B. C. D.5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半,那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. B. C. D.6.已知四面体的所有棱长都等于2,E是棱AB的中点,F是棱CD上靠近点C的四等分点,则等于()A. B. C. D.7.已知O为坐标原点,设,分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线上任一点,过点作的平分线的垂线,垂足为H,则()A.1 B.2 C.4 D.8.若对任意正实数x,y都有,则实数m的取值范围为()A. B. C. D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.已知集合有且仅有两个子集,则下列结论正确的是()A.B.C.若不等式的解集为,则D.若不等式的解集为,且,则10.已知,,若圆上存在点M满足,则实数a可以是()A.-1 B. C.0 D.111.已知直线,,不能围成三角形,则实数a的取值可能为()A.1 B. C.-2 D.-112.若定义在R上的函数,对任意两个不相等的实数,,都有,则称函数为“H函数”,下列函数是“H函数”的有().A. B.C. D.三、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.已知,则________.14.正四棱柱中,与平面所成角的正弦值为,则异面直线与所成角的余弦值为___________.15.已知函数,,如果对任意的,,都有成立,则实数a的取值范围是______.16.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教,每所学校至少安排一名,每名学生只去一所学校,则不同的安排方法种数是__________.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数,且,.(1)求的解析式;(2)判断在上的单调性,并用定义证明.18.(12分)已知,,是同一平面内的三个向量,其中.(1)若,且,求的坐标;(2)若,与的夹角为锐角,求实数的取值范围.19.(12分)如图,在三棱锥中,,D是BC的中点,平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知,,,.(1)求证:.(2)若点M是线段AP上一点,且,试证明平面平面BMC.20.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点,直线.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使,求圆心C的横坐标a的取值范围.21.(12分)某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图,已知空地的一边是直路AB,余下的外围是抛物线的一段,AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴,O是AB的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪,其中A,B,C,D均在该抛物线上.经测量,直路AB段长为60米,抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.以O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.(1)求该段抛物线的方程;(2)当CD长为多少米时,等腰梯形草坪ABCD的面积最大?22.(12分)已知椭圆C的中心为坐标原点,对称轴为x轴,y轴,且过,两点.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在直线l,使得直线l与圆相切,与椭圆C交于A,B两点,且满足(O为坐标原点)?若存在,请求出直线l的方程,若不存在,请说明理由. 参考答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.答案:C解析:解:由知,且,解得.2.答案:C解析:因为,所以.又因为,,所以,当且仅当时取等号.由题意可得,即,则m的最大值为3.故选C.3.答案:A解析:由不等式,得.设函数,则,所以在R上单调递增.因为,所以.解得或.故选:A.4.答案:C解析:根据已知有:因为复数z满足:,即,故或,因为复数z所对应的点在第四象限,故复数,所以.故选C.5.答案:D解析:设正四棱锥的高为h,底面边长为a,侧面三角形底边上的高为,则由题意可知,,因此有,即,解得,因为,所以.所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.故选:D.6.答案:D解析:因为E是棱AB的中点,F是棱CD上靠近点C的四等分点,所以,所以.因为,,,所以.故选D.7.答案:A解析:根据双曲线的对称性,不妨在双曲线右支上取点P,延长,交于点Q,图略.由角平分线性质及可知.根据双曲线的定义得,,从而,在中,OH为其中位线,故.故选A.8.答案:A解析:因为,所以,设,,则,,令恒成立,故单调递减,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;故所以,得到.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.答案:ABD解析:由于集合有且仅有两个子集,所以,.因为,所以.,当且仅当,时等号成立,故A正确.,当且仅当,即,时等号成立,故B正确.不等式的解集为,则,故C错误.不等式的解集为,即不等式的解集为,且,又因为,,所以,所以,故D正确.选ABD.10.答案:ABC解析:点M在以AB为直径的圆上,故问题等价于圆O与圆C有公共点,所以,解得,故选ABC.11.答案:BCD解析:因为直线的斜率为3,直线的斜率为,所以直线,一定相交,交点坐标是方程组的解,解得所以交点坐标为.当时,直线与x轴垂直,方程为,不经过点,所以三条直线能围成三角形.当时,直线的斜率为.若直线与直线的斜率相等,则,即,此时这两条直线平行,因此这三条直线不能围成三角形;若直线与直线的斜率相等,则,即,此时这两条直线平行,因此这三条直线不能围成三角形;若直线过直线,的交点,则,即,此时三条直线不能围成三角形.故选BCD.12.答案:BC解析:由题意可知是R上的增函数.对于A,由,得,所以在区间上为增函数,故A中函数不是“H函数”;对于B,,又,所以恒成立,故B中函数是“H函数”;对于C,恒成立,故C中函数是“H函数”;对于D,易知为偶函数,所以它不可能为R上的增函数,故D中函数不是“H函数”.三、填空题:每小题5分,共4小题,共20分.13.答案:解析:因为,,所以,所以,所以,,所以,则.故答案为:.14.答案:解析:以A为原点,AB,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.设,,则,,,,,所以,平面的一个法向量.设与平面所成的角为,则,解得.所以,.设异面直线与所成的角为,则.15.答案:解析:求导函数,可得,,,,在上单调递增,,对任意的,,都有成立,,,故答案为:.16.答案:240解析:先将5名学生分成4组共有种,再将4组学生安排到4所不同的学校有种,根据分步计数原理可知:不同的安排方法共有种.故答案为:240.四、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.答案:(1)(2)单调递增,证明见解析解析:(1)由题意,得,即,解得:,.故.(2)方法一:在上单调递增.证明:,且,则.由,得,,,所以,即.故在上单调递增.方法二:在上单调递增.证明:,且,则.由,得,,所以.故在上单调递增.18.答案:(1)或(2)解析:(1)因为,且,则,又,所以,即,故或;(2)由,则,由,解得,又与不共线,则,解得,故与的夹角为锐角时,实数的取值范围为:. 19.答案:(1)证明见解析(2)证明见解析解析:(1)因为,D是BC的中点,所以.如图,以O为原点,过点O作CB的平行线为x轴,以射线AD方向为y轴正方向,以射线OP的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系,则,,,,,所以,,所以,所以,即.(2)因为平面,平面ABC,所以.因为,,所以.因为M为AP上一点,且,所以.由(1)得,所以.又,所以.所以,.设平面BMC的法向量为,则即令,则,,所以.设平面AMC的法向量为,则即令,则,,所以.所以,所以,所以平面平面BMC.20.答案:(1)或,即或(2)解析:(1)由得则圆心.又圆C的半径为1,圆C的方程为.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为,即.,,,或.所求圆C的切线方程为或,即或.(2)设,则由,得,即,故点M的轨迹方程为,记为圆D.根据题意只要保证圆D与圆C有公共点即可.设,则,即,解得.圆心C的横坐标a的取值范围为.21.答案:(1),(2)20米时,等腰梯形草坪ABCD的面积最大解析:(1)设该抛物线的方程为,由条件知,,,所以,解得,故该段抛物线的方程为,.(2)由(1)可设,所以梯形ABCD的面积,,设,,则,令,解得,当时,在上是增函数;当时,在上是减函数.所以当时,取得极大值,也是最大值.故当CD长为20米时,等腰梯形草坪ABCD的面积最大.22.答案:(1)(2)不存在直线l满足题意,理由见解析解析:(1)设椭圆C的方程为.因为过,两点,故解得,所以椭圆C的方程为.(2)假设存在直线l满足题意.(i)当直线l的斜率不存在时,此时l的方程为.当时,,,,同理可得,当时,.(ii)当直线l的斜率存在时,设l的方程为,设,,因为直线l与圆O相切,所以,即①,联立方程组整理得,,由根与系数的关系得因为,所以.所以,所以,整理得②,联立①②,得,此时方程无解.由(i)(ii)可知,不存在直线l满足题意.

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