高考数学第8讲 直接法（解析版）

第8讲直接法一．选择题（共17小题）1．（2020•石家庄模拟）过双曲线右焦点的直线交的右支于，两点，直线是坐标原点）交的左支于点．若，且，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．【解答】解：取左焦点，设，则，由题意可得，所以，所以，，而，所以，，进而可得，在直角三角形中，，所以，解得，所以，，，，在三角形中，所以可得：，所以，故选：．2．（2021•合肥一模）设双曲线的左、右焦点分别为，，曲线上一点到轴的距离为，，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．4【解答】解：设为第一象限内的点，,,,可得,在△中，可得,即为,即,又△的面积为,化为,由,可得,解得(负的舍去),故选：．3．（2019•青岛一模）已知双曲线，为坐标原点，过的右顶点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，过的右焦点右侧的点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，若与的面积之比为，则双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D．【解答】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则，，，的渐近线方程为，故选：．4．（2014秋•滕州市校级期末）已知双曲线的方程为，它的左、右焦点分别，，左右顶点为，，过焦点先作其渐近线的垂线，垂足为，再作与轴垂直的直线与曲线交于点，，若，，依次成等差数列，则离心率 A． B． C．或 D．【解答】解：由题设知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点，，，轴，，解得，，，若，，依次成等差数列，，，依次成等差数列，，，即，解得．故选：．5．已知、分别为双曲线的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D．【解答】解：圆的半径为，圆的直径为，，，，，，，故选：．6．（2020秋•河南月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点．若，则 A．4 B．6 C．8 D．12【解答】解：双曲线的，根据双曲线的定义，得，，两式相加得，即，又，所以．故选：．7．（2019春•安徽月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点且直线与轴垂直，若的角平分线恰好过点，则△的面积为 A．12 B．24 C．36 D．48【解答】解：设，则，的角平分线恰好过点，，即．又，，即，解方程组，得，（舍或，，△的面积为．故选：．8．（2018秋•中原区校级月考）已知直线与双曲线相切于点，与双曲线两条渐近线交于，两点，则的值为 A．3 B．4 C．5 D．与的位置有关【解答】解：取点，则，，，取点，则，，，故选：．9．已知，分别为双曲线的中心和右焦点，点、分别在的渐近线和右支上，若，轴，，则的离心率为 A． B． C．2 D．3【解答】解：知，分别为双曲线的中心和右焦点，不妨点、分别在的渐近线和右支上，若，可得，则的纵坐标为：，轴，则的纵坐标为：，横坐标为：，则，，可得：，，化简可得，可得双曲线的离心率为：．故选：．10．（2020秋•北碚区校级期中）已知，分别是双曲线的中心和右焦点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，异于原点，若，则双曲线的离心率为 A．2 B． C． D．【解答】解：如图，以为直径的圆的方程为，即，联立，解得，即点的纵坐标为．，即，故选：．11．设直线与双曲线两条渐近线分别交于点、，若点满足，则该双曲线的离心率是 A． B． C． D．【解答】解：双曲线两条渐近线分别为：，由得，，则点的坐标是，，同理可求的坐标是，，设的中点是，则的坐标是，，因为，所以，因为的斜率是，所以的斜率是，则，化简得，所以，则，所以该双曲线的离心率是，故选：．12．（2019•南昌三模）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是 A． B． C． D．【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为，分别与联立，解得，，，，中点坐标为，，点满足，，，，．故选：．13．（2018秋•聊城期末）已知点，分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，△为等腰三角形，且顶角为，则该双曲线的离心率为 A． B． C．2 D．【解答】解：可设点在双曲线的右支上，且△的，，可得，由双曲线的定义可得，可得．故选：．14．（2017•普兰店市二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，是双曲线在第一象限上的点，，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．【解答】解：由题意，，由双曲线的定义可得，，可得，，由四边形为平行四边形，又，可得，在三角形中，由余弦定理可得，即有，即，可得，即．故选：．15．（2020秋•五华区校级月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，△是以为底边的等腰三角形，且，则该双曲线的离心率的取值范围是 A． B． C． D．【解答】解：△是以为底边的等腰三角形，，在△中，由余弦定理知，，由双曲线的定义知，，，，，，，离心率，即．故选：．16．（2020•全国二模）已知双曲线上存在一点，过点向圆做两条切线、，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D．【解答】解：双曲线上存在一点，过点向圆做两条切线、，若，可知是正方形，，所以双曲线的实半轴长的最大值为，所以．故选：．17．（2020•武汉模拟）已知，分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于，两点（点，异于，，则直线，的斜率之比 A． B． C． D．【解答】解：由已知得双曲线，，．故，，．设直线，且，，，．由消去整理得，，两式相比得①，②，将①代入②得：上式．故．故选：．二．多选题（共1小题）18．（2021•江苏一模）已知为坐标原点，，分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，则下列结论正确的有 A．若，则双曲线的离心率 B．若是面积为的正三角形，则 C．若为双曲线的右顶点，轴，则 D．若射线与双曲线的一条渐近线交于点，则【解答】解：对于，因为，所以的中垂线与双曲线有交点，即有，解得，故选项正确；对于，因为是面积为的正三角形，所以，解得，所以，故，故选项正确；对于，因为为双曲线的右顶点，则，又轴，则，所以，故选项错误；对于，若为右顶点，则射线与双曲线的渐近线交于点，此时，故选项错误．故选：．