高考数学专题12 圆锥曲线【多选题】（解析版）

专题12圆锥曲线1．已知三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由等比数列的性质求出，再判断曲线类型，进而求出离心率由三个数成等比数列，得，即；当，圆锥曲线为，曲线为椭圆，则；当时，曲线为，曲线为双曲线，，则离心率为：或故选：BC2．若双曲线的一个焦点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（）A．的方程为 B．的离心率为C．焦点到渐近线的距离为 D．两准线间的距离为【答案】AD【解析】先根据双曲线的几何性质求出其标准方程，再根据方程求出其它性质，再逐一判断各选项．由题意设双曲线的标准方程为，焦距为，∵双曲线的一个焦点，且渐近线方程为，∴，解得，∴双曲线的标准方程为，A对；∴其离心率为，B错；焦点到渐近线的距离，C错；准线方程为，则两准线间的距离为，D对；故选：AD．3．当时，方程表示的轨迹可以是（）A．两条直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】ACD【解析】将分为三种情况进行分类讨论，由此确定正确选项.当时，.方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆.当时，，方程化为，表示两条直线.当时，，.方程可化为，表示焦点在轴上的双曲线.所以曲线不可能表示圆.故选ACD.4．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（）A．若1＜t＜5，则C为椭圆B．若t＜1．则C为双曲线C．若C为双曲线，则焦距为4D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5【答案】BD【解析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案.由题意，若方程表示椭圆，则满足，解得或，对于A中，当时，此时方程表示圆，所以不正确；当方程表示焦点在轴上椭圆，则满足，解得，所以D项正确；对于B中，当时，，此时表示焦点在轴上的双曲线，所以是正确的；[来源:学科网ZXXK]对于C中，当时，方程，此时双曲线的焦距为，所以不正确.故选BD.（注意：[来源:学,科,网Z,X,X,K]若方程表示椭圆，则满足，解得或.）5．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（）A．的方程为 B．的离心率为C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点【答案】AC【解析】根据题意得到双曲线的方程，结合双曲线的性质逐一判断即可.对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；对于选项B：由双曲线方程可知，，，从而离心率为，所以B选项错误；对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误.故选AC6．已知A、B两点的坐标分别是，直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（）A．当时，点P的轨迹圆（除去与x轴的交点）B．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）C．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线D．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点）【答案】ABD【解析】M的坐标为，直线AP的斜率为，由已知得，化简得点M的轨迹方程为，对A，当时，方程为，故A正确；对B，当，方程为，表示椭圆，故B正确；对C，当，方程为，不表示抛物线，故C错误；对D，，方程为，表示双曲线线，故D正确；故选：ABD.7．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（）A． B．离心率C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切【答案】AD【解析】根据椭圆的定义判断A选项正确性，根据椭圆离心率判断B选项正确性，求得面积的最大值来判断C选项的正确性，求得圆心到直线的距离，与半径比较，由此判断D选项的正确性.对于A选项，由椭圆的定义可知，所以A选项正确.对于B选项，依题意，所以，所以B选项不正确.对于C选项，，当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为，所以C选项错误.对于D选项，线段为直径的圆圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D选项正确.综上所述，正确的为AD.[来源:Z,xx,k.Com]故选：AD8．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（）A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切C．当时， D．的最小值为4【答案】ACD【解析】根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可.对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，，所，.故选:ACD.9．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（）A． B．为等腰直角三角形C．直线AB的斜率为 D．的面积为4【答案】AC【解析】A．根据抛物线性质，结合角度之间的关系，求解出的度数；B．利用抛物线的焦半径结合，判断为等腰直角三角形的可能性；C．根据，设出直线方程完成直线斜率的求解；D．取直线的方程，联立抛物线方程求解出的值，根据求解出三角形面积.过点向准线作垂线，垂足为，，设，如下图所示：A．因为，所以，又因为，所以，所以平分，同理可知平分，所以，故结论正确；B．假设为等腰直角三角形，所以，[来源:Zxxk.Com]所以四点共圆且圆的半径为，又因为，所以，所以，所以，所以，显然不成立，故结论错误；C．设直线的方程为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以直线的斜率为，故结论正确；D．取，由上可知，所以，所以，故结论错误.故选：AC.10．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的是()A． B．C． D．E.椭圆Ⅱ比椭圆I更扁【答案】ABD【解析】先根据已知的条件确定和的关系，以及和的关系，再判断正确选项．由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得；因为，且，则，所以A正确；因为，所以B正确；因为，，则有，所以C错误；因为，所以D正确；因为，即，则椭圆I比椭圆Ⅱ更扁，所以E不错误，故选ABD.