2024届新高三开学摸底考试卷(北京专用)数学(考试时间:120分钟试卷满分:150分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若,则复数z的虚部为( )A.-5 B.5 C.7 D.-72.已知集合,,则( )A. B.C. D.或3.设,则( )A. B. C.1 D.24.设,为两个不同的平面,则∥的一个充分条件是( )A.内有无数条直线与平行 B.,垂直于同一个平面C.,平行于同一条直线 D.,垂直于同一条直线5.已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线分别交双曲线的左右两支于两点,且,则( )A. B. C. D.6.记为数列的前项和,设甲:为等差数列;乙:为等差数列,则( )A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7.已知函数则下列结论正确的是( ).A., B.,C.函数在上单调递增 D.函数的值域是8.在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知圆的半径为3,直线,互相垂直,垂足为,且与圆相交于,两点,与圆相交于,两点,则四边形的面积的最大值为( )A.10 B.12 C.13 D.159.已知函数在区间单调递增,直线和为函数的图像的两条对称轴,则( )A. B. C. D.10.随着科技的不断发展,人民消费水平的提升,手机购物逐渐成为消费的主流,当我们打开购物平台时,会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品,这是电商平台推送的结果.假设电商平台第一次给某人推送某商品,此人购买此商品的概率为,从第二次推送起,若前一次不购买此商品,则此次购买的概率为;若前一次购买了此商品,则此次仍购买的概率为.记第n次推送时不购买此商品的概率为,当时,恒成立,则M的最小值为( )A. B. C. D.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知点在抛物线C:上,则A到C的准线的距离为______.12.如图,是半径为3的圆的两条直径,,则__________. 13.农业技术员进行某种作物的种植密度试验,把一块试验田划分为8块面积相等的区域(除了种植密度,其它影响作物生长的因素都保持一致),种植密度和单株产量统计如下: 根据上表所提供信息,第________号区域的总产量最大.14.已知函数,,若时,恒成立,则实数的取值范围是____.15.在数列中各项均为正数,且,给出下列四个结论:①对任意的,都有②数列不可能为常数列③若,则数列为递增数列④若,则当时,其中所有正确结论的序号是___________.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.的内角的对边分别为,,且______.在①,②,这两个条件中任选一个,补充在横线中,并解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.(1)求的面积;(2)若,求.17.某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的情况,从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试,并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下:1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929187909290第二轮测试成绩90909188888796928992(1)从该校高二年级随机选取一名学生,试估计这名学生考核成绩大于90分的概率;(2)为进一步研究这10名同学的成绩,从考核成绩小于90分的学生中随机抽取两人,记这两人中两轮测试至少有一次大于90分的人数为,求的分布列与数学期望;(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为,考核成绩的平均数和方差分别为,试比较与与的大小.(只需写出结论)18.如图,在四棱锥中,平面,,,,.为的中点,点在上,且.(1)求证:平面平面;(2)求平面与平面所成角的余弦值;(3)若棱上一点,满足,求点到平面的距离.19.已知椭圆过点,长轴长为.(1)求椭圆的方程及其焦距;(2)直线与椭圆交于不同的两点,直线分别与直线交于点,为坐标原点且,求证:直线过定点,并求出定点坐标.20.已知函数.(1)若,求在处切线方程;(2)求的极大值与极小值;(3)证明:存在实数,当时,函数有三个零点.21.已知为有限个实数构成的非空集合,设,,记集合和其元素个数分别为,.设.例如当时,,,,所以.(1)若,求的值;(2)设是由3个正实数组成的集合且,证明:为定值;(3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列,对任意,设,.已知,且对任意,求数列的通项公式.公众号:高中试卷君
数学-2024届新高三开学摸底考试卷(北京专用)(考试版)
2023-11-23
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