数学-2024届新高三开学摸底考试卷（北京专用）（解析版）

2024届新高三开学摸底考试卷（北京专用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若，则复数z的虚部为（   ）A．-5 B．5 C．7 D．-7【答案】A【解析】依题意，，故z的虚部为-5.故选：A2．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．或【答案】C【解析】由已知可得，，解可得，，所以，所以，.故选：C.3．设，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】令，所以，令，所以，所以，故选：D.4．设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（   ）A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线【答案】D【解析】对于A：内有无数条直线与平推不出∥，只有内所有直线与平行才能推出，故A错误；对于B：，垂直于同一平面，得到∥或与相交，故B错误；对于C：，平行于同一条直线，得到∥或与相交，故C错误；对于D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故，垂直于同一条直线可得∥，故：D正确．故选：D5．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由双曲线得出.因为，所以.作于C，则C是AB的中点.设，则由双曲线的定义，可得.故，又由余弦定理得，所以，解得.故选：C6．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C7．已知函数则下列结论正确的是（    ）．A．， B．，C．函数在上单调递增 D．函数的值域是【答案】D【解析】作出函数的图象，由图可知函数是奇函数，即对，，故错误；当时，满足，此时，不成立，故项错误；函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，故项错误；函数的值域是，故项正确．故选．8．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为（    ）A．10 B．12 C．13 D．15【答案】B【解析】设圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，直线，互相垂直，垂足为，，，，．故选：B．9．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.10．随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知，根据第次推送时购买、没有购买两种情况，写出第n次推送时没有购买的概率第n次（）推送时不购买此商品的概率，所以，由题意知，则，所以是首项为、公比为的等比数列，所以，即．显然数列递减，所以当时，，所以M的最小值为．故选:A．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.【答案】【解析】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.12．如图，是半径为3的圆的两条直径，，则__________．  【答案】【解析】由题意可得，，,,故答案为:.13．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：  根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大．【答案】5【解析】设区域代号为，种植密度为，单株产量为，则，由图象可得种植密度是区域代号的一次函数，故设，，由已知函数的图象经过点,，所以，解得，所以，由图象可得单株产量是区域代号的一次函数，故可设，，观察图象可得当时，，当时，，所以，解得，所以，所以总产量当时，函数有最大值，即号区域总产量最大，最大值为.故答案为：5.14．已知函数，，若时，恒成立，则实数的取值范围是____.【答案】【解析】，则，则时，，单调递增.时，恒成立，即恒成立，则在上恒成立，则即在上恒成立，令，，则则当时，，单调递减；当时，，单调递增.则当时取得最小值，则则实数的取值范围是故答案为：15．在数列中各项均为正数，且，给出下列四个结论：①对任意的，都有②数列不可能为常数列③若，则数列为递增数列④若，则当时，其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①③④【解析】对于①，在数列中，，则，又对于任意的都有，则，即，即对于任意的，都有，故①项正确；对于②，不妨设数列可能为常数列，则，又，则，则，即时，数列为常数列，故②项错误；对于③，又，则，即，同理，当，都有，即，即，即数列为递增数列，故③项正确；对于④，，则，即，同理，当，都有，又，即数列为递减数列，即当时，，故④项正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．的内角的对边分别为，，且______．在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求的面积；(2)若，求．【解析】（1）若选①:因为，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；若选②:因为，即，则，又，则，又，得，则；（2）由正弦定理得：，则，则，．17．某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929187909290第二轮测试成绩90909188888796928992(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；(2)为进一步研究这10名同学的成绩，从考核成绩小于90分的学生中随机抽取两人，记这两人中两轮测试至少有一次大于90分的人数为，求的分布列与数学期望；(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为，考核成绩的平均数和方差分别为，试比较与与的大小.（只需写出结论）【解析】（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89.5，88，90，89，91.5，91，90.5，91．其中大于90分的有1号、7号、8号、9号、10号，共5人,     所以样本中学生考核成绩大于90分的频率是.         从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于90分的概率为0.5；（2）由题知，考核成绩小于90分的学生共4人，其中两轮测试至少有一次大于90分学生有2人.                                                                                                                                                      所以可取0,1,2，则，，，所以的分布列为012所以；（3）由题可得，，，所以；.18．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值；(3)若棱上一点，满足，求点到平面的距离.【解析】（1）如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，因为，所以，所以，即，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，平面的法向量为，则，令，则，所以，所以，所以，所以平面平面.（2）易知平面的一个法向量，设平面与平面所成角为，则，所以平面与平面所成角的余弦值为.（3）因为棱上一点，满足，所以，所以，所以点到平面的距离.19．已知椭圆过点，长轴长为.(1)求椭圆的方程及其焦距；(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.【解析】（1）由题得，所以椭圆的方程为，焦距为.（2）如图，  直线与椭圆方程联立，化简得，，即.设,，,，则，．直线的方程为，则，直线的方程为，则，因为，所以+=0，所以，所以，把韦达定理代入整理得或，当时，直线方程为，过定点，即点，不符合题意，所以舍去.当时，直线方程为，过定点.所以直线经过定点.20．已知函数.(1)若，求在处切线方程；(2)求的极大值与极小值；(3)证明：存在实数，当时，函数有三个零点.【解析】（1）当时，，，所以，又，所以切线方程为，即.（2），当时，，解得，故时，，单调递减；时，，单调递增，故时，的极小值为，无极大值；当时，令，解得，，故当或时，，单调递增，当时，，单调递减，故的极大值为，极小值为；当时，令，解得，，故当或时，，单调递减，当时，，单调递增，故的极大值为，极小值为；综上，当时，的极小值为，无极大值；当时，的极大值为，极小值为.（3）当时，由（2）知，在和上单调递增，在上单调递减，且时，恒成立，时，，又的极大值为，极小值为，所以存在实数时，函数有三个零点.21．已知为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以.(1)若，求的值；(2)设是由3个正实数组成的集合且，证明：为定值；(3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意，设，.已知，且对任意，求数列的通项公式.【解析】（1）当时，，，，所以，（2）设，其中，则，因，，因，所以，，，，又，，，所以，因，，，，因，，，，所以，，，，，，，所以所以为定值.（3），若，则，,故，，此时，不符合题意，故，猜想，下面给予证明，当时，显然成立，假设当，时，都有成立，即，此时，，故，，，符合题意，，则，，若，的元素个数小于的元素个数则有，不符合题意，故，综上，对于任意的，都有故数列的通项公式.公众号：高中试卷君