2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）01数学•全解全析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，B=，则（）A.{－2，－1，1} B.{－2，0，1} C.{－2，－1} D.{－1，1}【答案】A【详解】，则或，所以.故选：A.2．已知复数，为z的共轭复数，则（）A. B.2 C. D.【答案】C【详解】由题：，，，所以.3．已知向量，且，则（）A. B. C.2 D.－2【答案】D【详解】因为，，所以，又因为，所以，化简得.故选：D.4．已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．(1,3] B．(1,3) C．(0,1) D．(1，＋∞)【答案】 A【详解】 令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数．又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0,2)上单调递减，可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,6－2a≥0，))解得10，故由x∈(0，π)，得ωx＋eq\f(π,3)∈.根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知eq\f(5π,2)<πω＋eq\f(π,3)≤eq\f(7π,2)，得eq\f(13,6)<ω≤eq\f(19,6).根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω＋eq\f(π,3)≤3π，得eq\f(5,3)<ω≤eq\f(8,3).综上，ω的取值范围为16．已知F为双曲线的右焦点，A、B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，且线段的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率.【答案】【详解】因为为双曲线的右焦点，所以.由题知双曲线的一条渐过线的方程为，不妨设，则，所以，则，由此得因此点的坐标为，线段的中点坐标为，因为它在双曲线上，所以，化简得，解得四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求B的大小； （2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【详解】（1）由正弦定理得，所以，得，因为，所以，得，又，所以．（2）由，得，由余弦定理，得，得，得，所以的周长为．18．如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,平面底面,为的中点,是棱(不与端点重合)上的点,,,. (1)求证:平面平面; (2)当的长为何值时,平面与平面所成的角的大小为?【解析】(1),为的中点,, ,, 四边形为平行四边形,. ,. ,,. 又平面平面,平面平面, 平面,.又,平面. 平面,平面平面. (2)由(1)可知平面.如图,以为原点,分别以,,所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系, 则,,,,, ,,,, . 设,则,且,得, . 设平面的法向量为, 则,即, 令,则,, 平面的一个法向量为. 设平面的法向量为, 则,即 令,则,, 平面的一个法向量为. 平面与平面所成的锐二面角的大小为, , . . 即当时,平面与平面所成的角大小为19．已知函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝1时，令g(x)＝eq\f(2fx,x2).证明：当x>0时，g(x)>1.【详解】(1)解 函数f(x)＝ex－ax－a的定义域为R，求导得f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，当a>0时，令f′(x)＝ex－a>0，解得x>lna，令f′(x)<0，解得x0时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．(2)证明 当a＝1时，g(x)＝eq\f(2ex－x－1,x2)，当x>0时，eq\f(2ex－x－1,x2)>1⇔ex>1＋x＋eq\f(x2,2)⇔eq\f(\f(1,2)x2＋x＋1,ex)<1，令F(x)＝eq\f(\f(1,2)x2＋x＋1,ex)－1，x>0，F′(x)＝eq\f(－\f(1,2)x2,ex)<0恒成立，则F(x)在(0，＋∞)上单调递减，F(x)0时，g(x)>1，