2024届高考数学一轮复习收官卷02（新高考Ⅰ卷）（解析版）

2024届高考数学一轮复习收官卷02（新高考Ⅰ卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（22·23上·广安·阶段练习）在复平面内，复数，则对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】因为，所以，即对应的点为，位于第三象限.故选：C.2．（23·24上·河南·模拟预测）设集合，若，则实数（     ）A． B． C．或 D．或【答案】A【详解】集合，则，且，解得，且，由，得，或，解，得或（舍去）；解，得（舍去）或（舍去），所以.故选：A3．（22·23下·全国·模拟预测）函数的图象大致为（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】A【详解】记，其定义域为，所以，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B、D，，故C错误，A正确．故选：A．4．（22·23·广东·模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（   ）  A． B．C． D．【答案】B【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.  不妨设，则，，，，，故，，.设，则，解得，所以.故选：B.5．（22·23·衡水·模拟预测）若随机变量，则有如下结论：（，，）,高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（    ）A．19 B．12 C．6 D．5【答案】C【详解】∵数学成绩近似地服从正态分布，，∴，根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为，∴理论上说在130分以上人数约为.故选：C．6．（23·24上·嘉兴·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知：，当时，，在上单调递增，，；若，则，，此时，又，，；若，则，，此时，与矛盾，不合题意；综上所述：实数的取值范围为.故选：B.7．（22·23·河南·二模）已知三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，，，若球O的体积为，三棱锥的体积为2，G，H分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）  A． B． C． D．【答案】C【详解】  如图，取的中点O，连接，，因为，所以O到A，B，C，D的距离相等，故O为三棱锥的外接球的球心.设外接球半径为R，由球O的体积为，得，解得，则，，，.过D，H作，分别垂直于于点E，F，连接，，.因为，.设三棱锥的高为h，则体积，解得，而，所以就是三棱锥的高.在中，，，，由余弦定理得，解得，，则由勾股定理得.因为是的中位线，所以且，同理，，所以或其补角是异面直线与所成的角，在中，由余弦定理得.故选：C8．（23·24上·德州·模拟预测）已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，求导可得，令，则，在时，即在单调递减，在时，即在单调递增，则，所以所以，当时取等号，则当时，得，则,设，，，设，，则，令，则所以在上单调递增，则，所以在上单调递减，故，即在上恒成立，则在上单调递减，由，则，即，则，综上故选：A．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（22·23·三明·三模）已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了的学生进行视力调查，调查数据如图②所示，下列说法正确的有（    ）  A．该地区的中小学生中，高中生占比为B．抽取调查的高中生人数为人C．该地区近视的中小学生中，高中生占比超过D．从该地区的中小学生中任取名学生，记近视人数为，则的数学期望约为【答案】ABD【详解】对于A选项，由图①可知，该地区的中小学生中，高中生占比为，A对；对于B选项，用分层抽样抽取了的学生，则抽取的高中生人数为人，B对；对于C选项，该地区近视的中小学生中，小学生近视的人数为人，初中生近视的人数为人，高中生近视的人数为人，所以，该地区近视的中小学生中，高中生占比为，C错；对于D选项，从该地区中的中小学生中任意抽取一名，该学生近视的概率为，从该地区的中小学生中任取名学生，记近视人数为，则，所以，，D对.故选：ABD.10．（23·24上·徐州·阶段练习）已知函数的导函数的图象经过点，记，则（    ）A．在上单调递减 B．C．的图象在内有5个对称轴 D．【答案】ABD【详解】，因为的图象经过点，所以，所以，因为，所以当时，，所以，所以，对A，，因为，所以，根据余弦函数的单调性知A正确；对B，，故B正确；对C，，因为，所以，根据余弦函数的对称性知，当时，符合题意，则有四条对称轴，故C错误；对D，，故D正确.故选：ABD.11．（22·23·福建·一模）如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点（含端点），则（    ）A．存在点M，使得平面B．存在点M，使得∥平面C．不存在点M，使得直线与平面所成的角为D．存在点M，使得平面与平面所成的锐角为【答案】BCD【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，，设，设平面的法向量为，，则有，假设存在点M，使得平面，所以有，所以有，因此假设不成立，因此选项A不正确；假设存在点M，使得∥平面，所以有，所以假设成立，因此选项B正确；假设存在点M，使得直线与平面所成的角为，，所以有，解得，，所以假设不成立，故选项C正确；假设存在点M，使得平面与平面所成的锐角为，设平面、平面的法向量分别为、，显然，则有，当时，有，所以有（舍去），或，假设成立，选项D正确，故选：BCD12．（22·23下·浙江·模拟预测）抛物线的准线方程为，过焦点的直线交抛物线于，两点，则（    ）A．的方程为B．的最小值为C．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有且仅有2条D．过点分别作的切线，交于点，则直线的斜率满足【答案】BD【详解】对于A；依题意，，解得，的方程为，A错误；对于B，由选项A知，，设直线的方程为，由消去y得，设，则有，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，过点且与抛物线仅有一个公共点的直线不垂直于y轴，设此直线方程为，由消去y得：，当时，，直线与抛物线仅只一个交点，当时，，解得，即过点且与抛物线相切的直线有2条，所以过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，C错误；对于D，由求导得，由选项B知，，，，由两式相减得：，即，则，于是，，即点，所以，D正确.故选：BD  三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分．）13．（23·24上·南充·模拟预测）若命题“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是．【答案】【详解】因为命题“，使得成立”为真命题，所以，解得.故答案为：14．（22·23上·徐汇·一模）某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图.设成绩在88分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两班的优秀学生中各取1人，记甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩记为事件，则事件发生的概率.【答案】【详解】从甲、乙两班的优秀学生中各取1人所有的可能为：，共18种情况，其中甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩的情况有4种，所以，故答案为：15．（23·24上·长春·一模）若在内存在极值，则实数的取值范围是．【答案】【详解】在内存在极值，则在内有变号零点，，，与同号，则有，解得，即实数的取值范围是.故答案为：16．（22·23下·潍坊·一模）乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为.②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为.附：当时，，.【答案】/0.2109375【详解】①需比赛五局才结束，则说明前四局双方为，概率为.②假设比赛局数为随机变量，由已知，需比赛局数为偶数，则可取.则，当时，双方前局战为平局，且任意前（，且）局双方均战为平局，则，显然，满足该式.设，则有，所以，是以为首项，为公比的等比数列.设，则.设的前项和为，则，，作差可得，，整理可得，.由题意可得，，.则.故答案为：；.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17．（23·24上·宁波·一模）已知数列满足，且对任意正整数m，n都有(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）由对任意整数均有，取，得，当时，，当时，，符合上式，所以.（2）当为偶数时，，当为奇数时，若，则，若，则，且当时，满足.综上所述：.18．（22·23下·朝阳·一模）秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量（单位：杯）如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代码1234567杯数4152226293132(1)请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断，与哪一个更适宜作为y关于x的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）；(2)建立y关于x的回归方程（结果保留1位小数），并根据建立的回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶才能超过35杯？(3)若每天售出至少25杯即可盈利，则从第一天至第七天中任选三天，记随机变量X表示盈利的天数，求随机变量X的分布列.参考公式和数据：其中回归直线方程中，22.71.2759235.113.28.2【答案】(1)图见解析，更适宜作为关于的回归方程模型；(2)，到第9天才能超过35杯；(3)分布列见解析.【详解】（1）根据散点图，知更适宜作为关于的回归方程模型；（2）令，则，由已知数据得，，所以，故关于的回归方程为，进而由题意知，令，整理得，即，故当时，即到第9天才能超过35杯；（3）由题意知，这7天中销售超过25杯的有4天，则随机变量的可能取值为，，，，则随机变量的分布列为012319．（22·23下·抚顺·模拟预测）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且．(1)求A及a的值；(2)若，求线段AP长度的取值范围．【答案】(1)，(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得，则，即，由余弦定理可得，且，则，又因为外接圆的半径，所以．（2）设，，因为，即点P为BC边的中点，则，两边同时平方得，即，由（1）可知：，即，可得，即，又因为外接圆的半径，由正弦定理得，，即，则．因为为锐角三角形，则，，即，，可得，则，可得，则，即，所以线段AP长度的取值范围为．20．（22·23·龙岩·二模）三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．  (1)求侧棱的长；(2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)【详解】（1）在平面内过作，垂足为，因为侧面为矩形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，易得，面，平面平面，所以平面，因为，所以，因为，，所以；（2）存在点满足题意，，理由如下：如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，  则，设，则，故，，设平面的法向量为则即，令，则，故平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，解得，故存在点E满足题意，所以.21．（23·24上·