2023年复旦大学数学英才班选拔考试

2023年复旦大学数学英才班选拔考试原创Fiddie高中数学杂谈（个人解答）第1题设是的一个全排列（），设求的最小值及此时的．解：对任意满足题目条件的，我们构造，，如下：Step1：考虑数字，若在的第一位，取；若不在的第一位，而在第位，即定义的前个分量为把的前个分量颠倒放置，后个分量不变，即则Step2：考虑数字，若在的第位，取；若不在的第位，而在第位（这里的跟Step1的不一样），即定义的前个分量不变，后个分量为把的后个分量颠倒放置，即则Step3：考虑数字，若在的第位，取；若不在的第位，而在第位（这里的跟Step2的不一样），即定义的前个分量不变，后个分量为把的后个分量颠倒放置，即则这样一直下去，最终可以构造出并且满足即对的任意置换，都有所以，的最小值在取到．最小值：当为偶数时，最小值为当为奇数时，最小值为第2题是否存在函数，满足对，，恒有证明你的结论．答：不存在．如果存在这样的，定义，则，并且取，则其中是任意的正整数，．所以把上述换成，相加可得另一方面，在中取，则把换为，可得所以即对任意正整数，都有我们让，可得但是左边是有限的数，右边的正整数可以是任意的，让即可得出矛盾．第3题对正整数，，，记为满足下列条件的的组数：①；②．求证：．证明：定义集合为满足且只需构造集合到集合的一一映射．设，把作如下排列：第行有个，得到一个包含很多1的数阵．例如，就是如下排列：定义映射如下：把定义为：是上述数阵中第列的的个数．我们来说明这样的定义是合理的：①根据上述定义方式，是中大于等于的正整数的个数，即于是．因为每一列最多只可能有个1，因此．②根据上述定义方式，把这个数阵中的1按行去数和按列去数，得到的1的总数相同，因此因此，即定义合理．再来证明是单射．如果，则与对应的数阵中，每一列的1的个数相同．第1列的1的个数相同，表明与中0的个数相同；第2列的1的个数相同，表明与中1的个数相同；第列的1的个数相同，表明与中的个数相同．而根据②，与中的个数相同．因此我们证明了是单射，从而由可得上述不等式对任意正整数和都成立，可交换的位置，得到因此第4题求所有的点，使得过点，，，和的圆锥曲线唯一．解：设圆锥曲线．代入可得①②③④由②③得；由①④得，因此．再由①②可得．所以满足条件的圆锥曲线形如由于圆锥曲线过和，则本题相当于找所有的使得上述关于，的方程具有唯一解．这个方程组的系数矩阵是，行列式为．故只要，即，方程组存在唯一解．综上，的所有可能取值是．特别地，可以证明，当时，圆锥曲线是双曲线；当时，圆锥曲线是椭圆（或圆）．第5题回答下列问题：（1）用表示； （2）求； （3）若给定长度为，的线段，简述尺规作图作出长为的线段的步骤；来（4）简述尺规作图作出正五边形的步骤．(1).(2)设，则，且，则．另一方面，，因此即，即①．另一方面，由于，故得到方程②，由①，，则，即．即，所以（负根舍去），得(3)把这个步骤拆成许多基本步骤如下：设．①延长线段或截取线段：设直线上的线段的长度为，线段的长度为，延长到射线，以为圆心、为半径作圆，这个圆与的交点记为（在线段上），则线段长为，线段长为．②过一点作直线的垂线：直线上有三点，，，以为圆心、为半径画圆，交直线于，再分别以点、为圆心，为半径画圆，两个圆的圆弧交于两点，，则．记所在的直线为，且与直线交于点．③取中点：以线段的两端为圆心、为半径画圆，交于两点，连接，则与的交点就是的中点．④以为圆心、为半径画圆，交直线于，于是．(4)【说明】下面的步骤不是最简便的，最简便的方法是用黄金三角形的相似性．任取一点，画一个圆（把这个圆视作单位圆，半径为1）．我们只需在这个圆上找五个点，使得．先在圆上任取一点，下面来用尺规作图找到．在中，根据余弦定理，所以只需在圆弧上用尺规作图取使得．作出长度为的线段步骤如下：Step1：利用(3)①，可以利用长度为1的线段作出长度为2的线段以及长度为10的线段；Step2：利用(3)的方法，可以长度为的线段；Step3：利用(3)①的方法作出长度为的线段；Step4：利用(3)的方法，作出长度为的线段；Step5：利用(3)③的方法，作出长度为的线段．下面再以为圆心、为半径画圆，与圆交于两点，取其中一个点作为，于是这样作出的．最后，把分别换为，重复上述操作四次，即可得到．连接，，，，，则五边形就是正五边形．