高考数学专题21 比赛问题(原卷版)

2023-11-18 · 6页 · 134.3 K

专题21比赛问题例1.甲、乙两队进行篮球冠军争夺赛,比赛采取三局二胜制,甲队每局取胜的概率为.甲队有一名核心球员,如果核心球员在比赛中受伤,将不能参加后续比赛,甲队每局取胜的概率降为.若核心球员在每局比赛受伤的概率为,则甲队获得冠军的概率为.例2.当前,以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.目前,国家教育主管部门正在研制的《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》,以及将出台的加强劳动教育指导意见和劳动教育指导大纲,无疑将对体美劳教育提出刚性要求.为激发学生加强体育活动,保证学生健康成长,某校开展了校级排球比赛,现有甲乙两人进行比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止.设甲在每同中获胜的概率为,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结東时比赛停止的概率为,(1)求的值;(2)设表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量的分布列和数学期望.例3.一次考试共有12道选择题,每道选择题都有4个选项,其中有且只有一个是正确的.评分标准规定:“每题只选一个选项,答对得5分,不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的,其余题中:有两道题都可判断两个选项是错误的,有一道题可以判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生:(1)得60分的概率;(2)所得分数的分布列和数学期望.例4.为增强学生体质,学校组织体育社团,某宿舍有4人积极报名参加篮球和足球社团,每人只能从两个社团中选择其中一个社团,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团,掷出点数为5或6的人参加篮球社团,掷出点数小于5的人参加足球社团.(Ⅰ)求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率;(Ⅱ)用分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数,记随机变量为和的乘积,求随机变量的分布列与数学期望.例5.某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛,从高一、高二两个年级各抽取10名志愿者参赛。在规定时间内,他们检索到的图书册数的茎叶图如图所示,规定册数不小于20的为优秀.(Ⅰ)从两个年级的参赛志愿者中各抽取两人,求抽取的4人中至少一人优秀的概率;(Ⅱ)从高一10名志愿者中抽取一人,高二10名志愿者中抽取两人,3人中优秀人数记为,求的分布列和数学期望.例6.篮球运动于1891年起源于美国,它是由美国马萨诸塞州斯普林菲尔德(旧译麻省春田)市基督教青年会()训练学校的体育教师詹姆士·奈史密斯博士()发明.它是以投篮、上篮和扣篮为中心的对抗性体育运动之一,是可以增强体质的一种运动.已知篮球的比赛中,得分规则如下:3分线外侧投入可得3分,3分线内侧投入可得2分,不进得0分.经过多次试验,某人投篮100次,有20个是3分线外侧投入,30个是3分线内侧投入,其余不能入篮,且每次投篮为相互独立事件.(1)求该人在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率;(2)求该人在4次投篮中至少有一次是3分线外侧投入的概率;(3)求该人两次投篮后得分的分布列及数学期望.例7.中国乒乓球队为了备战2019直通布达佩斯世乒赛,在深圳集训并进行队内选拔.选手与三位选手分别进行一场对抗赛,按以往多次比赛的统计,选手获胜的概率分别为,且各场比赛互不影响.(1)若选手至少获胜两场的概率大于,则该选手入选世乒赛最终名单,否则不予入选,问选手是否会入选;(2)求选手获胜场数的分布列和数学期望.例8.某球员是当今国内最好的球员之一,在赛季常规赛中,场均得分达分。分球和分球命中率分别为和,罚球命中率为.一场比赛分为一、二、三、四节,在某场比赛中该球员每节出手投分的次数分别是,,,,每节出手投三分的次数分别是,,,,罚球次数分别是,,,(罚球一次命中记分)。(1)估计该球员在这场比赛中的得分(精确到整数);(2)求该球员这场比赛四节都能投中三分球的概率;(3)设该球员这场比赛中最后一节的得分为,求的分布列和数学期望。例9.甲、乙两班进行“一带一路”知识竞赛,每班出3人组成甲、乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错或不答都得0分,已知甲队3人每人答对的概率分别为,乙队每人答对的概率都是,设每人回答正确与否相互之间没有影响,用表示甲队总得分.(1)求的概率;(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下,甲队比乙队得分高的概率.例10.羽毛球比赛中采用每球得分制,即每回合中胜方得1分,负方得0分,每回合由上回合的胜方发球.设在甲、乙的比赛中,每回合发球,发球方得1分的概率为0.6,各回合发球的胜负结果相互独立.若在一局比赛中,甲先发球.(1)求比赛进行3个回合后,甲与乙的比分为的概率;(2)表示3个回合后乙的得分,求的分布列与数学期望.例11.某地区举办知识竞答比赛,比赛共有四道题,规则如下:答题过程中不论何时,若选手出现两题答错,则该选手被淘汰分数记为,其它情况下,选手每答对一题得分,此外若选手存在恰连续3次答对题目,则额外加分,若次全答对,则额外加分.已知某选手每次答题的正确率都是,且每次答题结果互不影响.求该选手恰答对道题的概率;记为该选手参加比赛的最终得分,求的分布列与数学期望.例12.甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记为比赛决出胜负时的总局数,求的分布列和均值(数学期望).例13.甲,乙两人进行围棋比赛,共比赛QUOTE2n(n∈N+)局,根据以往比赛胜负的情况知道,每局甲胜的概率和乙胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人,则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为QUOTEP(n).(1)求与QUOTEP(3)的值;(2)试比较QUOTEP(n)与QUOTEP(n+1)的大小,并证明你的结论.例14.如图,小华和小明两个小伙伴在一起做游戏,他们通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决胜谁首先登上第3个台阶,他们规定从平地开始,每次划拳赢的一方登上一级台阶,输的一方原地不动,平局时两个人都上一级台阶,如果一方连续两次赢,那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励,除非已经登上第3个台阶,当有任何一方登上第3个台阶时,游戏结束,记此时两个小伙伴划拳的次数为.(1)求游戏结束时小华在第2个台阶的概率;(2)求的分布列和数学期望.

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