高考数学专题22 几何问题（解析版）

专题22几何问题例1．正四面体，棱长为1米，一条虫子从顶点开始爬行，在每一顶点，它等可能选择三棱之一，沿这棱到其它顶点，记是虫子从开始爬行了米回到的概率，则 ；通项公式 ．，1，2，【解析】小虫从点出发，一共分3步走，假设第一步到，则第二部有三种走法，若回到，则第三步都回不到，若第二部不到，可以到或，到达下一个顶点后又有三种走法，只有一种能回到．其它类同．所以虫子从开始爬行了3米回到的概率为；（若第三次爬回去，则第四次就不能会到．（若第四次爬回去，则第五次就不能会到．所以．故答案为，．例2．在棱长为1米的正四面体中，有一小虫从顶点处开始按以下规则爬行，在每一顶点处以同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条棱的尽头．记小虫爬了米后重新回到点的概率为．则 ．【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，假设这个四面体的四个顶点分别为，小虫从开始爬．如果爬到第三次时，小虫在点，那么第四次就一定不在点，设小虫第三次在点的概率为，那么最后的答案就是①设小虫第二次在点的概率为，那么最后的概率就是②显然小虫第一次爬完之后在点的概率为0，那么③将③代入②，得④将④代入①得故答案为：例3．已知三棱锥中，平面，，，．如图，从由任何二个顶点确定的向量中任取两个向量，记变量为所取两个向量的数量积的绝对值．（1）当时，求的值．（2）当时，求变量的分布列与期望．【解析】（1）平面，，，，，以为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，，，由任何二个顶点确定的向量的个数为，其中的有，，共2个，．（2）时，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．的取值为0，1，2，3，，，，，的分布列为：0123．例4．发展“会员”、提供优惠，成为不少实体店在网购冲击下吸引客流的重要方式．某连锁店为了吸引会员，在2019年春节期间推出一系列优惠促销活动．抽奖返现便是针对“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”不同级别的会员享受不同的优惠的一项活动：“白金卡会员”、金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”分别有4次、3次、2次、1次抽奖机会．抽奖机如图：抽奖者第一次按下抽奖键，在正四面体的顶点出现一个小球，再次按下抽奖键，小球以相等的可能移向邻近的顶点之一，再次按下抽奖键，小球又以相等的可能移向邻近的顶点之一每一个顶点上均有一个发光器，小球在某点时，该点等可能发红光或蓝光，若出现红光则获得2个单位现金，若出现蓝光则获得3个单位现金．（1）求“银卡会员”获得奖金的分布列；（2），2，3，4，表示第次按下抽奖键，小球出现在点处的概率．①求，，，的值；②写出与关系式，并说明理由．【解析】（1）设“银卡会员”获得奖金为个单位奖金，则的可能取值为4，5，6，则，，故的分布列为：456（2）①，，，，②若第次按下抽奖键时小球出现在点，则第次按下抽奖键时小球出现在点的概率为0，若第次按下抽奖键时小球不出现在点，则第次按下抽奖键时小球出现在点的概率为，．例5．如图，四棱锥的所有棱长均为1米，一只小虫从点出发沿四棱锥爬行，若在每顶点处选择不同的棱都是等可能的．设小虫爬行米后恰回到点的概率为．（1）求，的值；（2）求证：；（3）求证：．【解析】（1）表示从点到（或、、，然后再回到点的概率，所以；因为从点沿一棱爬行，不妨设为沿着棱再经过或，然后再回到点的概率为，所以．（2）证明：设小虫爬行米后恰回到点的概率为，那么表示爬行米后恰好没回到点的概率，则此时小虫必在（或、、点，所以，即．（3）证明：由，得，从而．所以．例6．假设位于正四面体顶点处的一只小虫，沿着正四面体的棱随机地在顶点间爬行，记小虫沿棱从一个顶点爬到另一个顶点为一次爬行，小虫第一次爬行由等可能地爬向、、中的任意一点，每二次爬行又由其所在顶点等可能地爬向其它三点中的任意一点，如此一直爬下去，记第次爬行小虫位于顶点处的概率为．（1）求，，的值，并写出的表达式（不要求证明）；（2）设，试求（用含的式子表示）．【解析】（1），，，猜想：（2）例7．已知正四面体的棱长为．（1）已知点是的中点，点在的内部及边界上运动，且满足平面，试求点的轨迹；（2）有一个小虫从点开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了之后，求恰好回到点的概率．【解析】（1）取中点，连接，并取的中点，连，，所以，平面，平面，所以平面．同理可得：平面．因为，为平面内的两条相交直线，所以平面平面，所以得到点的轨迹为线段．（2）由题意可得：小虫爬了，并且恰好回到点，所以小虫共走过了4条棱，因为每次走某条棱均有3种选择，所以所有等可能基本事件总数为．当小虫走第1条棱时，有3种选择，即，，，不妨设小虫走了，然后小虫走第2条棱为或或，若第2条棱走的为，则第3条棱可以选择走，，，计3种可能；若第2条棱走的为，则第3条棱可以选择走，，计2种可能；同理第2条棱走时，第3棱的走法亦有2种选择．所以小虫走后仍回到点的选择有种可能．所以所求的概率为．例8．设正四面体的所有棱长都为1米，有一只蚂蚁从点开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能的选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，（1）求它爬了4米之后恰好位于顶点的概率（2）求它爬了3米后经过的次数的分布列和均值．【解析】（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，假设这个四面体的四个顶点分别为，蚂蚁从开始爬．如果爬到第三次时，蚂蚁在点，那么第四次就一定不在点，设蚂蚁第三次在点的概率为，那么最后的答案就是，①设蚂蚁第二次在点的概率为，那么最后的概率就是，②显然蚂蚁第一次爬完之后在点的概率为0，那么，③将③代入②，得，④将④代入①得．故它爬了4米之后恰好位于顶点的概率为．（2）由已知得的可能取值为0，1，2，，，的分布列为：012．例9．某商家推出一款简单电子游戏,弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点与中心共七个点中的三个位置上(如图),用S表示这三个球为顶点的三角形的面积.规定:当三球共线时,S=0;当S最大时,中一等奖,当S最小时,中二等奖,其余情况不中奖,一次游戏只能弹射一次.（1）求甲一次游戏中能中奖的概率;（2）设这个正六边形的面积是6,求一次游戏中随机变量S的分布列及期望值.【解析】（1）甲中奖的概率为（2）S的可能值为:0,1,2,3,其分布列为S0123P例10．如图，设为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量.（1）求的概率；（2）求的分布列及数学期望.【解析】（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有种不同选法，其中的为有一个是的直角三角形（如：）共种，所以.（2）的所有可能取值为，的为顶角是的等腰三角形（如），共种，所以，的为等边三角形（如：）共种，所以，又由（1），故的分布列为：所以.例11．已知正六棱锥的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.(1)求概率的值；(2)求的分布列，并求其数学期望．【解析】（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，共有种取法，其中的三角形如，这类三角形共有个因此.（2）由题意，的可能取值为其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；因此所以随机变量的概率分布列为：所求数学期望.例12．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点刚好是边长为的等边三角形的三个顶点.（Ⅰ）第四次射击时，该运动员瞄准区域射击（不会打到外），则此次射击的着弹点距的距离都超过的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）(Ⅱ)该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间内.现从这次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为和）进行技术分析.求事件“”的概率.【解析】（Ⅰ）因为着弹点若与的距离都超过cm，则着弹点就不能落在分别以为中心,半径为cm的三个扇形区域内，只能落在图中阴影部分内.因为图中阴影部分的面积为，故所求概率为（Ⅱ）前三次射击成绩依次记为，后三次成绩依次记为，从这次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：，共个，其中可使发生的是后个基本事件.故.