高考数学专题06 函数的单调性(解析版)

专题06函数的单调性专项突破一判断或证明函数的单调性1．下列函数中，在区间上单调递增的是（       ）A． B． C． D．【解析】对于A：定义域为，且，所以当时，则函数在上单调递减，故A错误；对于B：则，所以当或时，则函数在和上单调递增，故B正确；对于C：定义域为，则，所以当或时，当或时，所以函数在和上单调递增，在和上单调递减，故C错误；对于D：，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故D错误；故选：B2．已知函数满足，对任意有，若为锐角三角形，则一定成立的是（       ）A． B．C． D．【解析】不妨设，则，又，所以，所以在上单调递增，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，即，因为在上单调递增，所以，故选：C3．(多选)下列函数在定义域内既是奇函数又是减函数的有（       ）A． B．C． D．【解析】，定义域是R，BCD三个选项中函数定义域都是R，A中函数是奇函数，B中函数，是奇函数，C中函数，是奇函数，D中函数，，是奇函数，A中函数在定义域内不是减函数，B中函数由于是减函数，是增函数，因此是减函数，C中函数，时，递增，递增，递增，所以递增，不是减函数，D中，时，是减函数，由于其为奇函数，因此在上也递减，从而在定义域内递减，故选：BD．4．函数.(1)判断并证明函数的单调性；(2)判断并证明函数的奇偶性；(3)解不等式.【解析】(1)，任取，令，则，∵则，可得，∴即，∴函数在上递增．(2)的定义域为，∵即，∴为定义在上的奇函数．(3)即，∵函数在上递增，∴即或．5．已知函数是定义在上的奇函数，且(1)用定义证明在上单调递增；(2)若，求实数m的取值范围．【解析】(1)因为是定义在上的奇函数， 所以，所以，所以 ，又因为，所以，所以，    所以，经检验满足 ，设任意， ， 因为，以，因为，所以，即，所以在上单调递增.；(2)因为是定义在上的奇函数， 所以，等价于，又因为在上单调递增，所以，解得，  所以实数m的取值范围是6．函数是定义在上的奇函数，且．(1)确定的解析式(2)判断在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；(3)解关于的不等式．【解析】(1)根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，解可得；又由，则有，解可得；则(2)由（1）的结论，，在区间上为增函数；证明：设，则又由，则，，，，则，即，则函数在上为增函数.(3)由（1）（2）知为奇函数且在上为增函数.，解可得：，即不等式的解集为.7．已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.(1)证明：为奇函数；(2)证明：在上是增函数；(3)设，若，对所有，恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)因为有，令，得，所以，令可得：，所以，故为奇函数．(2)由（1）可知是定义在，上的奇函数，由题意设，则由题意时，有，是在上为单调递增函数；(3)由（1）（2）可知是上为单调递增函数,所以在上的最大值为所以要使，对所有，恒成立，只要，，由，可得，解得所以实数的取值范围为8．已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.(1)证明：当时，；(2)判断的单调性并加以证明；(3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)；；当时，；；当时，.(2)单调递减.证明：，，，，，即，单调递减，(3)函数的定义域是 ， ；恒成立；由（2），单调递减，恒成立，恒成立，因为，当且仅当时等号成立，所以；又有意义，所以，综上：.9．已知函数．(1)证明：为奇函数．(2)判断的单调性，并结合定义证明．(3)若对任意，都有成立，求a的取值范围．【解析】(1)∵，∴恒成立，故的定义域为R．∵，∴，故为奇函数．(2)在R上单调递减．证明如下：令．设，则．∵，，，∴，即，故在上单调递减，可得在上单调递减．又∵为奇函数，∴在R上单调递减．(3)由(2)得在R上单调递减，则对任意，都有成立，即对任意，都有成立．令，∵，∴．由，得．原不等式为，即．令函数．∵函数和都在上单调递增，∴在上单调递增，∴．故a的取值范围是．专项突破二求单调性区间1．的单调增区间为（       ）A． B． C． D．【解析】由，得或，则函数的定义域为，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域内为减函数，所以在上递增，在上递减，所以的单调增区间为，故选：C2．函数的单调增区间为（       ）A． B． C．和 D．【解析】由可得且，因为开口向下，其对称轴为，所以的减区间为和，所以的单调增区间为和，故选：C3．函数的单调递增区间是（    ）A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2）【解析】先考虑定义域：，解得或，是开口向上的抛物线，对称轴为x=3，在上单调递增，在上单调递减，函数是由和复合而成的，是减函数，根据复合函数同增异减的原理，当时是增函数，故选：D.4．函数的递减区间是（       ）A． B．和C． D．和【解析】当时，，，解得：，又为开口向下的抛物线，对称轴为，此时在区间单调递减，当时，，为开口向上的抛物线，对称轴为，此时在单调递减，综上所述：函数的递减区间是和.故选：B.5．函数的单调递增区间为（       ）A． B． C． D．【解析】函数，令，（），所以原函数化为：，对称轴为，该函数在单调递增，而，故在上单调递增，故选：A.6．函数的单调递减区间为__________．【解析】当时，，则其在上递减，当时，，则，当时，，所以在上递减，综上，的单调递减区间为7．函数的单调减区间是______．【解析】去绝对值，得函数当时，函数的单调递减区间为当时，函数的单调递减区间为综上，函数   的单调递减区间为，8．函数，的单调增区间为______．【解析】由题意可得,令，则，当时,单调递减，当时，单调递增,而对于，当时,时递减，时递增，当时,时递减，时递增，函数，的单调增区间为9．函数的单调递增区间是______．【解析】函数的图象如图所示：由图象知：其单调递增区间是10．已知函数恒过定点，则函数的单调递增区间为______．【解析】因为函数恒过定点，所以，所以，所以的单调递增区间为.11．已知对任意的，都有，当时，.(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间.【解析】(1)当时，∴.∵对任意的，都有，∴.∴其中.(2)∵二次函数的图像开口向上，对称轴为直线，且，∴函数在上单调递减，在上单调递增.∵二次函数的图像开口向上，对称轴为直线，且，∴函数在上单调递减，在上单调递增.∴函数的单调递增区间为；单调递减区间为.专项突破三图像与单调性1．已知函数的图象如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为________．【解析】由图可知，的单调递减区间为、．因为函数在上单调递减，则或，由题意得或，即或．2．已知函数．(1)在下列网格纸中作出函数在上的大致图象；(2)判断函数的奇偶性，并写出函数的单调递增区间，不必说明理由．【解析】(1)当时，，其大致图象如下所示：(2)函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，由（1）中的图象结合偶函数的性质可知，函数的单调递增区间为、.3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补充完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间及值域；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合；(4)求出函数f(x)在R上的解析式.【解析】(1)由题图及y＝f(x)是定义在R上的奇函数，可得左侧图象如下：(2)由（1）所得函数图象知：单调递增区间为(－1,1)，值域R.(3)由（1）所得函数图象知：使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,＋∞).(4)∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(x)＝－f(－x).当x>0时，-x<0，则f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]=－x2+2x.综上，专项突破四根据单调性比较大小1．设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（       ）．A． B．C． D．【解析】函数为偶函数，则，当时，是减函数，又，则，则故选：C2．设，，，则（       ）A． B． C． D．【解析】由题意得：，，，，故选：C3．设，则a，b，c的大小关示是（       ）A． B．C． D．【解析】因为，，，所以．故选：D．4．已知函数，若，且，则（       ）A． B．C． D．【解析】因为在上单调递增（增+增=增），且，所以，又，所以，，故选：D．5．定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（       ）A． B．C． D．【解析】定义域在上的函数满足：对任意的，，有，可得函数是定义域在上的增函数，所以（1）（3）．故选：．6．若函数为偶函数，则下列结论正确的是（       ）A．f(2a)>f(a)>f(0) B．f(2a)>f(0)>f(a)C．f(a)>f(2a)>f(0) D．f(a)>f(0)>f(2a)【解析】根据题意，，时，此时，，根据可得，故，又时，，在上为单调增函数，，选项A正确.7．已知函数，则下列正确的是（       ）A． B．C． D．【解析】，，∴当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数，又，∴.故选：C.8．设，，，则的大小顺序为（       ）A． B． C． D．【解析】：令，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得最大值，因为，，，，当时，函数单调递增，可得，即．故选：B．9．函数，若，，，则有（       ）．A． B．C． D．【解析】由题知，，，，所以，因为在R上单调递增，所以，故选：B10．设函数是定义在R上的函数，其中的导函数满足对于恒成立，则（     ）A．， B．，C．， D．，【解析】设，则，故在上单调递减，，，即，，，．故选：C．11．已知定义在R上的函数满足当时，不等式恒成立，，，，则a，b，c的大小关系为（       ）A． B．C． D．【解析】，所以当时，；当时，，因此函数是R上的减函数，因为，，，所以，又因为函数是R上的减函数，所以，即，故选：C专项突破五根据单调性解不等式1．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（       ）A． B． C． D．【解析】为奇函数，，又，，则可化为：，在单调递增，，解得：，的取值范围为.故选：C.2．已知函数，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【解析】函数定义域为R，，则函数是奇函数，是R上增函数，，于是得，解得或，所以所求不等式的解集是.故选：C3．已知函数是定义在R上的偶函数，且在单调递减，，则的解集为（       ）A． B．C． D．【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，所以的图象关于直线对称.因为在上单调递减，所以在上单调递增.因为，所以.所以当时，；当时，．由，得或解得．故选：C4．若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（       ）A． B．C． D．【解析】由是奇函数在单调递增，且可知：当时，，当时，，又或，解得：或满足的x的取值范围是或，故选：D5．已知函数，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【解析】函数的定义域为，恒成立，所以在上单调递增，所以由可得：，解得：．故选：D．6．已知函数，则不等式f(x)＋f(2x－1)＞0的解集是（       ）A．(1，＋∞） B． C． D．(－∞，1)【解析】的定义域满足，由，所以在上恒成立.所以的定义域为，，则，所以，即为奇函数.设，由上可知为奇函数.当时，，均为增函数，则在上为增函数.所以在上为增函数.又为奇函数，则在上为增函数，且，所以在上为增函数.又在上为增函数，在上为减函数，所以在上为增函数，故在上为增函数，由不等式，即，所以，则，故选：B7．已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【解析】是奇函数，恒成立，即恒成立，化简得，，即，则，解得，又且，，则，所以，由复合函数的单调性判断得，函数在上单调递减，又为奇函数，