高考数学专题07 错位排列（解析版）

专题07错位排列例1．“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（       ）A．72 B．108 C．144 D．196【答案】C【解析】【分析】分步完成，5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．【详解】按题意5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．因此填法总数为．故选：C.【点睛】本题考查分步计数原理．解题关键是确定完成这件事的方法．例2．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（       ）A．10种 B．20种 C．30种 D．60种【答案】B【解析】【分析】先选择两个编号与座位号一致的人，另外三个人编号与座位号不一致，由此确定正确选项.【详解】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有，另外三个人编号与座位号不一致，方法数有，所以不同的坐法有种.故选：B例3．将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据题意，分两步进行：（1）在个小球中任选个放入相同编号的盒子里；（2）将剩下的个小球放入与其编号不同的盒子里.利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】根据题意，分以下两步进行：（1）在个小球中任选个放入相同编号的盒子里，有种选法，假设选出的个小球的编号为、；（2）剩下的个小球要放入与其编号不一致的盒子里，对于编号为的小球，有个盒子可以放入，假设放入的是号盒子.则对于编号为的小球，有个盒子可以放入，对于编号为、的小球，只有种放法.综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种.故选：B.例4．同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺卡不同分配方式有A．8种 B．9种 C．10种 D．12种【答案】B【解析】【分析】方法一：设四人分别为a，b，c，d，写的卡片分别为A，B，C，D，从a开始分析，易得a有三种拿法，假设a拿了B，再分析b的取法数目，剩余两人只有一种取法，由分步计数原理，计算可得答案；方法二：根据题意，列举出所有的结果，即可得答案．【详解】方法一：设四人分别为a，b，c，d，写的卡片分别为A，B，C，D，由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a有三种分配，不妨设a拿了B，则b可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c和d只能有一种分配，所以共有3×3×1×1=9种分配方式;方法二：根据题意，列举出所有的结果:1.甲乙互换，丙丁互换；2.甲丙互换，乙丁互换；3.甲丁互换，乙丙互换；4.甲要乙的乙要丙的丙要丁的丁要甲的；5.甲要乙的乙要丁的丙要甲的丁要丙的；6.甲要丙的丙要乙的乙要丁的丁要甲的；7.甲要丙的丙要丁的乙要丁的丁要甲的；8.甲要丁的丁要乙的乙要丙的丙要甲的；9.甲要丁的丁要丙的乙要甲的丙要乙的．通过列举可以得到共有9种结果．故选：B．【点睛】本题考查排列组合的运用，法二用列举法分析，注意排除不合题意的情况，同时列举时要按照一定的规律，做到不重不漏．例5．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（       ）A．20 B．90 C．15 D．45【答案】D【解析】【分析】先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，对于剩余的4人，每个人都不能拿自己写的卡片，计算得到答案.【详解】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有种选法，②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有种.故选：.【点睛】本题考查了组合的应用，意在考查学生的应用能力和理解能力.例6．5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法A．42 B．44 C．46 D．48【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意的，设五人分别为，重新站队时，可从开始，其中有种不同的选择，比如占据了的位置，可再由选取位置，可分为类，一类：占据了的位置，则后面的重站，共有种站法；若没有占据的位置，则有种站法，后面的重站，共有种站法，所以共有种不同的站法，故选B.考点：排列、组合的应用.【方法点晴】本题主要考查了以站队问题的排列、组合问题的应用，着重考查了分析问题、解答问题的能力和分类讨论思想方法的应用，有一定的思维量，属于中档试题，本题的解答中，可先设五人分别为，从可从开始，其中有种不同的选择，再利用所占的位置，决定另一个人的选择，体现了处理排列组合的一种方法.例7．若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有（       ）A．45种 B．40种 C．55种 D．60种【答案】A【解析】【分析】先选出站在自己原来的位置的人种选法，然后剩下的4人都不站自己原来的位置，得出答案.【详解】先从5个人中选出站在自己原来的位置的有种选法设剩下的4个人为.则他们都不站自己原来的位置，分下列几步完成:(1)假设先安排，则有种选法.(2)当站好后，站的位置原来站的是谁，接下来就安排这个人来选位置，有种选法.(3)接下来，剩下的两个人和两个位置中,至少有1人，他原来站的位置留下来了，都不站原来的位置，则只有1种站法.所以共有种选法.故选：A【点睛】本题考查排列、组合及简单的计数问题，注意分析满足“恰有1个人站在自己原来的位置”的要求，属于中档题.例8．若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（   ）种不同的站法.A．4 B．8 C．12 D．24【答案】B【解析】【详解】根据题意，分2步分析：①先从4个人里选1人，其位置不变，其他三人的都不在自己原来的位置，有种选法；②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法．故不同的调换方法有，故选：B．例9．有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，已知当时，共有6种坐法．的值为________【答案】    4    【解析】因为当时，有种坐法，所以，即，解得或（舍去），，例10．将数字填入标号为的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有____________（用数字作答）．【答案】9【解析】【详解】9试题分析本题用枚举法，逐次列举所有满足条件的结果：（2143）、（2413）、（2341）、（3142）、（3412）、（3421）、（4321）、（4312）、（4123)共9种.考点：有限制条件的排列问题.例11．若4个人重新站成一排，没有人站在自己原来的位置，则不同的站法共有___________种.【答案】9【解析】【分析】根据题意，假设4人为A、B、C、D，原来对应站的位置为1、2、3、4，进而分3步进行分析，讨论4人的站法数目，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，假设4人为A、B、C、D，原来对应站的位置为1、2、3、4，分3步进行分析：（1）、A不能在1号位置，可以站在2、3、4号位置，有3种情况.（2）、假设A站在了2号位置，则B可以站在1、3、4号位置，有3种情况；（3）、对于剩下2人，都不能在原来的位置，有1种情况，则有3×3=9种不同的站法；故答案为：9【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分别计数原理的应用，属于基础题．例12．位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则人拿的都不是自己的帽子方案总数为____________.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】记位顾客分别为甲、乙、丙、丁，假设甲拿了乙的帽子，利用列举法结合分类计数原理可得结果.【详解】记位顾客分别为甲、乙、丙、丁.假设甲拿了乙的帽子，则乙拿了甲的帽子，丙拿了丁的帽子，丁拿了丙的帽子；或乙拿丙的帽子，丙拿了丁的帽子，丁拿了甲的帽子；或乙拿了丁的帽子，丙拿了甲的帽子，丁拿了丙的帽子.若甲拿了丙或丁的帽子，同理可知，符合条件的方案数均为种.综上所述，人拿的都不是自己的帽子方案总数为.故答案为：.例13．名教师从星期一至星期六值日，若甲教师不排星期一，乙教师不排星期二，丙教师不排星期三，则不同的值日排法有多少种？【答案】【解析】【分析】利用排列组合知识计算可得不符合题意的排法，采用间接法可求得结果.【详解】甲排在星期一，乙排在星期二，丙排在星期三的可能的排法的集合依次用表示，则不符合题意的排法共有种，，符合题意的排法共有种.例14.有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？【解析】．例15．分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中号人不坐号椅，2，3，4，的不同坐法有多少种？【解析】1号椅有4种坐法，3，4，5均可坐）假设1号椅由3号坐了，现在按排3号椅，那3号椅也有4种坐法，2，4，5可住）假设3号椅由1号坐了，剩下2，4，5坐2，4，5这3个椅，只有2种住法如果3号椅由4号坐了，剩下1，2，5坐2，4，5这3个椅，有3种坐法同样，3号椅由2号，5号坐的时候，也是有3种坐法，那么总坐法就是种.例16．n个学生参加一次聚会，每人带一张贺卡和一件礼物，会后每个人任取一张贺卡和一件礼物.问：发生下列情况时，有多少种可能？(1)没有任何一位学生取回他原来自己的一件物品；(2)有人取回了他原来的物品；(3)恰好只有一人取回他原来的物品.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）没有任何一位学生取回他自己原来的一件物品分两步完成，第一步没有人取回自己的贺卡，第二步没人取回自己的礼物，根据乘法原理求得答案；（2）n个同学每人取回一张贺卡、一件礼物，共有的取法，减去没有人取回自己物品的取法数，即得答案；（3）分三种可能分别考虑，即取对贺卡、而拿错礼物；取错贺卡而拿对礼物；还有就是贺卡、礼物全取对了,计算取法，可得答案.(1)（1）设没有任何一位学生取回他原来自己的一件物品，可以先取贺卡，n个同学均没有取回他原来的贺卡（即n个元素排列有n个动点）有种.同理，再去取礼物，也有种，由错排公式，共有种.(2)（2）n个同学每人取回一张贺卡、一件礼物，共有种,故有人取回他原来物品的取法有种.(3)（3）根据表示n个元素有k个组合不动点的排列个数，那么用表示n个人中有一个人取回他原来的物品的可能数，因此恰好只有一人取回他原来的物品，有三种可能，即取对贺卡、而拿错礼物；取错贺卡而拿对礼物；还有就是贺卡、礼物全取对了.前二种情况各有种，后一种情况有种，取法总数为:.例17．将用1～6编号的六张卡片，插入用1～6编号的六个盒子里，每只盒子插一张，求：(1)使每一卡片的号码与所在盒子号码都不同的插法总数；(2)恰好有3张卡片号码与所在盒子号码相同的插法总数.【答案】(1)265；(2)40.【解析】【分析】（1）先求出无限制排列的总数，再利用间接法求解；（2）分两步完成，利用乘法分步原理求解.(1)解：全部无限制排列有种.如果有5个或6个卡片号码和盒子的号码对应相同，只有1种；如果有4个卡片号码和盒子的号码对应相同，首先，确定哪4个号码相同，有种，剩下的两个号码只有一种插法，所以共有