高考数学专题09 间接法模型（解析版）

专题09间接法模型例1．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（       ）．A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种【答案】D【解析】【分析】采用间接法，先求出没有限制的所有站法，再排除不满足条件的站法可求解.【详解】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法.故选：D例2．“烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱.命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅”.这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有6名志愿者要到4个学校参加支教活动，要求甲､乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（       ）A．156种 B．168种 C．172种 D．180种【答案】A【解析】【分析】利用间接法来求得不同的安排方案的数量.【详解】根据题意，设剩下的2个学校为丙学校和丁学校，先计算小李和小王不受限制的排法数目：先在6位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙学校，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个学校，有种情况，则小李和小王不受限制的排法有6×5×6=180种，若小李和小王在一起，则两人去丙学校或丁学校，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙学校，有种情况，最后2个安排到剩下的学校，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有2×4×3=24种.所以小李和小王不在一起排法有180-24=156种.故选：A例3．某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（       ）种A．9 B．36 C．54 D．108【答案】C【解析】【分析】根据给定条件利用排列并结合排除法列式计算作答.【详解】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的选派方案有种，选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有种，所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有种故选：C例4．某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A组不是第一个演讲的方法数为（       ）A．13 B．14 C．15 D．18【答案】D【解析】【分析】利用排除法，先计算A组是第一个演讲的方法数即得解【详解】由题意，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲共有种情况其中A组是第一个演讲的方法数为故A组不是第一个演讲的方法数为故选：D例5．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（       ）A．21种 B．231种 C．238种 D．252种【答案】B【解析】【分析】利用间接法求解，先求出任选5人的选法再减去甲乙丙三人都不被选的选法即可得解.【详解】10人中选5人有种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有种，则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有种.故选：B例6．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为（       ）A．720 B．1440 C．2280 D．4080【答案】C【解析】【分析】以间接法去求解这个排列问题简单快捷.【详解】一共有7个数字，且其中有两个相同的数字1.这7个数字按题意随机排列，可以得到个不同的数字.当前两位数字为11或12时，得到的数字不大于3.14当前两位数字为11或12时，共可以得到个不同的数字，则大于3.14的不同数字的个数为故选：C例7．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（   ）A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种【答案】A【解析】【分析】根据给定条件先求出“射”不在第一次的“六艺”讲座不同的次序数，去掉“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的“六艺”讲座不同的次序数即可得解.【详解】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为，其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为，于是得，所以“六艺”讲座不同的次序共有408种.故选：A【点睛】思路点睛：含有两个限制条件的排列问题，利用排除法，先让一个条件被满足，再去掉这个条件满足时另一个条件不满足的所有可能即可解决问题.例8．红五月，某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光，伟大梦想”联欢会，经过初赛，共有6个节目进入决赛，其中2个歌舞类节目，2个小品类节目，1个朗诵类节目，1个戏曲类节目．演出时要求同类节目不能相邻，则演出顺序的排法总数是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】可以用间接法，先计算出所有演出方案，减去歌舞类相邻、小品类相邻种数，再加上歌舞与小品均相邻的种数可得答案.【详解】所有演出方案有种，歌舞类相邻有种，小品类相邻有种，歌舞与小品均相邻有种，所以总数有种.故选：C.例9．位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且仅有两位女生相邻，则不同排法的种类数是（       ）．A．B．C．D．【答案】B【解析】根据位女生中有且仅有两位女生相邻，选出两个女生在一起，用位男生当隔板，与剩下的女生分离，再减去位女生中有且仅有两位女生相邻且男生甲站两端的种数即可.【详解】先考虑位女生中有且仅有两位女生相邻，选出两个女生在一起，再与剩下的女生分离，注意两个女生的内部排列，用位男生当隔板，有四个空，共有种可能，再考虑位女生中有且仅有两位女生相邻且男生甲站两端，男生甲站左端有种可能，男生甲站右端有种可能，即若男生甲不站两端，位女生中有且仅有两位女生相邻，有种可能，故选：B．例10．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为（       ）A．72 B．324 C．648 D．1296【答案】D【解析】【分析】先排2艘攻击型核潜艇，再利用间接法排驱逐舰和护卫舰，最后根据分步乘法计数原理可求舰艇分配方案的方法数.【详解】第一步：排2艘核潜艇，方法数为；第二步：排3艘驱逐舰和3艘护卫舰，方法数为，所以舰艇分配方案的方法数为：，故选：D.例11．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院呼吸科要从3名男医生，2名女医生中选派3人，到湖北省的A，B，C三地参加疫情防控工作，若这3人中至少有1名女医生，则选派方案有（       ）A．9种 B．12种 C．54种 D．72种【答案】C【解析】先从5名医生中选3人，排除所选医生都为男医生的情况，再安排到A,B,C三地即可.【详解】3人中至少有1名女医生,考虑间接法，先任选3名医生共有种选法，没有女医生被选上的情况为，因此3人中至少有1名女医生的选法为种，安排到湖北省的A，B，C三地共有种，故选：C【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分步乘法计数原理，间接法，属于中档题.例12．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（       ）A．180种 B．150种 C．96种 D．114种【答案】D【解析】【详解】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3，1，1，共有种情况；②三个路口人数情况2，2，1，共有种情况.若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有种.故选：D.点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.例13．电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，在《夺冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是______.【答案】16【解析】【分析】将四人作全排列，再排除两个家长相邻和两个小孩相邻情况，即可得结果.【详解】将四个人全排列，再减去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，故.故答案为：16.例14．把a，a，a，b，b，，排成一排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，则这样的排法共有______种．【答案】96【解析】【分析】计数综合问题，可先对b，b，，进行排列，然后用“插空法”解决三个“a”两两不相邻的问题，最后减去两个“b”相邻的情况即为所求【详解】根据题意，分情况进行分析：①先排列b，b，，，若，不相邻，则有（种）排法，若，相邻，则有（种）排法．所以b，b，，的排法有（种），排好后有5个空位．②从所形成的5个空中选3个插入a，共有（种）方法，若b，b相邻，从所形成的4个空中选3个插入a，共有（种）方法，故三个“a”两两步相邻，且两个“b”也不相邻的排法共有（种）．故答案为：96例15．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为_____________．【答案】84【解析】【详解】试题分析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，①当有二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有种，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有种；②有二所医院分1人另一所医院分3人.有种.故满足条件的分法共有种.考点：计数原理的运用．例16．某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种．【答案】474.【解析】【分析】采用间接法，首先求解出任意安排节课的排法种数；分别求出前节课连排节和后节课连排3节的排法种数；作差即可得到结果.【详解】从节课中任意安排节共有：种其中前节课连排节共有：种；后节课连排3节共有：种老师一天课表的所有排法共有：种本题正确结果：【点睛】本题考查有限制条件的排列问题的求解，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.例17．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有____种.（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法，在此条件下，计算甲不排在两端的排法，最后相减即可得到结果.【详解】由题意得5人排成一排，甲、乙两人不相邻，有种排法，其中甲排在两端，有种排法