高考数学专题12 插空法模型（解析版）

专题12插空法模型例1．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（       ）．A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种【答案】D【解析】【分析】采用间接法，先求出没有限制的所有站法，再排除不满足条件的站法可求解.【详解】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法.故选：D例2．为庆祝中国共产党成立100周年，重温党的光辉历程，歌颂党的伟大成就，继承和发扬党的优良革命传统，充分展现当代中学生爱党､爱国､爱社会主义的深厚情怀，我校计划举办2021年“荔枝杯”中学生演讲比赛，要求从5名男生，2名女生中随机选出4人进行现场比赛，且至少要选1名女生，如果2名女生同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序共有（       ）A．120种 B．480种 C．600种 D．720种【答案】C【解析】【分析】由题设知：选出的男女可能组合为，再应用排列组合数计算不同演讲顺序的可能情况种数即可.【详解】由题设，选出的男女组合有两种情况：当男女为组合，演讲顺序为种；当男女为组合，演讲顺序为种；所以一共有600种.故选：C例3．甲、乙、丙三人参加社区义工活动，每人从编号为1到6的社区中任选一个，所选社区编号数各不相同且不相邻，则不同的选择方案的种数为（       ）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】【分析】不相邻问题用插空法可解.【详解】问题可看做是将3个不同元素与3个完全一样的元素排成一列，且三个不同元素不相邻的问题.第一步，将3个相同元素排成一列，共1种方法；第二步，将三个不同元素插入到4个空位中，共种方法.所以不同的选择方案共有24种.另解：依题意，因为甲、乙、丙三人所选社区编号各不相同且不相邻，所以先找三人所选社区编号，三人所选社区编号有1，3，5；1，3，6；1，4，6；2，4，6四种情况，然后在每种情况下安排甲、乙、丙三人有种情况，所以不同的选择方案共有种.故选：B.例4．随着经济的发展，私家车成为居民的标配．某小区为了适应这一变化，在小区建设过程中预留了7个排成一排的备用车位．现有3位私家车车主要使用这一备用车位．现规定3位私家车随机停车，任意两辆车都不相邻，则共有不同停车种数为（       ）A．144 B．24 C．72 D．60【答案】D【解析】【分析】由题可知7个车位停三辆车，则会产生4个空位，故可先摆4个空位留下5个空隙供3辆车选择即可.【详解】由题可知7个车位停三辆车，则会产生4个空位，故可先摆好4个空车位，4个空车位之间共有5个空隙可供3辆车选择停车．因此，任何两辆车都不相邻的停车种数共有.故选：D．例5．加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有（       ）种加工方法．A．24 B．32 C．48 D．64【答案】A【解析】【分析】考察排列组合的捆绑与插空的方法【详解】工序A，B必须相邻，可看作一个整体，工序C，D不能相邻，所以先对AB，E工序进行排序，有种方法，AB内部排序，有种方法，排好之后有三个空可以把工序C，D插入，共种情况，所以一共有种可能性故选：A例6．为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（       ）A．10种 B．12种 C．16种 D．24种【答案】A【解析】【分析】对中心组学习所在的阶段分两种情况讨论得解.【详解】解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有种方法；如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有种方法.综合得不同的安排方案共有10种.故选:A例7．某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有（       ）A．12种 B．24种 C．72种 D．120种【答案】A【解析】【分析】先排列2名男生共有种排法，再将3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有种排法，分步乘法原理可求得答案.【详解】解：先排列2名男生共有种排法，再将3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有种排法，所以舞台站位时男女间隔的不同排法共有种排法，故选：A.例8．甲､乙､丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法（       ）A．120种 B．80种 C．64种 D．20种【答案】A【解析】【分析】根据题意，先排7个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空档，将3人连同座一起安排在空档上，计算可得答案.【详解】根据题意，一并排座位有10个，3人就坐，有7个空座位，将7个空座位排成一排，中间有6个空档，将3人连同座位一起安排空档上，有种安排方法，故答案为：A.例9．某校为了落实教育部提出的第三十七个教师节“赓续百年初心，担当育人使命”的主题，开展了文娱汇演活动.校文娱组委会要在原定排好的8个节目中增加2个节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为（       ）A．45 B．90 C．180 D．270【答案】B【解析】【分析】利用插空法求解即可.【详解】可分成两步：第一步，在8个原定节目所产生的9个空隙中插入一个节目，有种不同的排法，第二步，在已排好的9个节目所产生的10个空隙中插入另一个节目，有种不同的排法.根据分步乘法计数原理知，共有种不同的排法.故选：B.例10．用1，2，3，4，5，6六个数字组成六位数，其中奇数不相邻且1、2必须相邻，则满足要求的六位数共有（       ）个A．72 B．96 C．120 D．288【答案】A【解析】【分析】根据题意，按1和2两个数按“12”的顺序和“21”的顺序捆绑，利用插空法可得答案．【详解】解：根据题意，1和2必须相邻，将“12”或“21”看成一个整体与4、6全排列，排好后，要求奇数互不相邻，则有3个空位可选，再将“3”和“5”插入到3个空位中，有种排法，即有72个符合条件的六位数；故选：A．例11．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（       ）A．408种 B．240种 C．192种 D．120种【答案】A【解析】【分析】首先对六艺全排列，减去“射”排在第一次的情况，再减去“数”和“乐”两次相邻的情况，最后再加上“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况即可求解.【详解】将六艺全排列，有种，当“射”排在第一次有种，“数”和“乐”两次相邻的情况有种，“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况有种，所以“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻的排法有种，故选：A.例12．7个人排成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（ ）A．480种 B．720种 C．960种 D．1200种【答案】C【解析】【分析】甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，根据丙和丁不相邻，把形成的五个空选两个排列丙和丁．得到结果．【详解】解：由题意知，甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，把形成的五个空选两个排列丙和丁，根据分步计数原理知共有A44A22A52＝960种．故选：C．例13．个人排队，其中甲､乙､丙人两两不相邻的排法有（       ）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【解析】【分析】先排除甲､乙､丙以外的人，再将甲乙丙插空，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】先排除甲､乙､丙以外的人有种排法，将甲､乙､丙人插入个空中有种排法，由分步乘法计数原理可得：甲､乙､丙人两两不相邻的排法有种，故选：B.例14．永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为（       ）A．480 B．240 C．384 D．1440【答案】A【解析】【分析】利用插空法求解即可.【详解】第一步，将《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《女书表演》四个节目排列，有种排法；第二步，将《祁阳小调》、《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有种插法；所以共有种不同的安排方法.故选：A例15．中国古乐中以“宫”“商”“角”“徽”“羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，如果用这五个基本音阶随机排成一个五个音阶的音序，则“官”“商”两音不相邻且在“角”音同侧的概率为_______．【答案】【解析】【分析】分别求出被一个音阶隔开的情况和被两个音阶隔开的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】由题意得，只被一个音阶隔开的情况为“宫徵商”或“宫羽商”，有种排法，被两个音阶隔开的情况为“宫徵羽商”，共有种排法，故“宫”“商”两音不相邻且在“角”音同侧的概率为．故答案为：例16．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法有______种．【答案】432【解析】【分析】相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法，可以分两种情况，①文化课之间不间隔艺术课，利用捆绑法求解即可；②文化课之间间隔一节，这种情况又分为文化课间都间隔一节、两个文化课间隔一节，与另一个文化课不间隔两种情况；分别求得排法种数，相加即可.【详解】间隔1节艺术课的排法有种；间隔0节艺术课的排法有种；故最多间隔1节艺术课的排法有种，故答案为：432例17．“迎冬奥，跨新年，向未来”，水球中学将开展自由式滑雪接力赛．自由式滑雪接力赛设有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三个项目，参赛选手每人展示其中一个项目．现安排两名男生和两名女生组队参赛，若要求相邻出场选手展示不同项目，女生中至少一人展示雪上芭蕾项目，且三个项目均有所展示，则共有___种出场顺序与项目展示方案．（用数字作答）【答案】264【解析】【分析】分类讨论：雪上芭蕾展示一次和两次；每一类又分两步讨论：第一步先排给项目排序，第二步再给项目安排上展示者.【详解】设空中技巧、雪上技巧、雪上芭蕾三个项目依次为A、B、C，①雪上芭蕾只展示一次时，按展示先后顺序有下列12情况：BABC，ABAC，CBAB，CABA，ABCA，ABCB，BACB，BACA，ACBA，ACAB，BCBA，BCAB.再给项目排上表演者：从两名女生中选1人去展示雪上芭蕾C有2种排法，剩下的三人去展示剩下的项目有3！＝6种排法，∴共2×6＝12种排法.∴此时共12×12＝144种出场顺序与项目展示方案.②雪上芭蕾展示两次时，按展示先后顺序有下列6情况：CABC，CBAC，BCAC，ACBC，CBCA，CACB.再给项目排上表演者：四个选手随意选一个项目展示共4！＝24种排法，但需