高考数学专题04 数字问题（解析版）

专题04数字问题例1．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为（       ）A．720 B．1440 C．2280 D．4080【答案】C【解析】【分析】以间接法去求解这个排列问题简单快捷.【详解】一共有7个数字，且其中有两个相同的数字1.这7个数字按题意随机排列，可以得到个不同的数字.当前两位数字为11或12时，得到的数字不大于3.14当前两位数字为11或12时，共可以得到个不同的数字，则大于3.14的不同数字的个数为故选：C例2．年月日，很多人的微信圈都在转发这样一条微信：“，所遇皆为对，所做皆称心””．形如“”的数字叫“回文数”，即从左到右读和从右到左读都一样的正整数，则位的回文数共有（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据“回文数”的对称性，只需计算前位数的排法种数即可，确定这四位数的选数的种数，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】根据“回文数”的对称性，只需计算前位数的排法种数即可，首位数不能放零，首位数共有种选择，第二位、第三位、第四位数均有种选择，因此，位的回文数共有个.故选：C.例3．将1，2，3，…，9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有（       ）34A．6种 B．12种 C．18种 D．24种【答案】A【解析】【分析】根据分步乘法计数原理，分别分析数字1，2，9，数字5，数字6，7，8的摆放方法数即可【详解】分为三个步骤：12349第一步，数字1，2，9必须放在如图的位置，只有1种方法．第二步，数字5可以放在左下角或右上角两个位置，故数字5有2种方法．第三步，数字6如果和数字5相邻，则7，8有1种方法；数字6如果不和数字5相邻，则7，8有2种方法，故数字6，7，8共有3种方法．根据分步乘法计数原理，有1×2×3＝6(种)填写空格的方法故选：A例4．如图，某类共享单车密码锁的密码是由4位数字组成，所有密码中，恰有三个重复数字的密码个数为（       ）A．90 B．324 C．360 D．400【答案】C【解析】【分析】先考虑重复的那个数字在其中三个位置上，再安排剩下的那个位置上的数字，根据分步乘法原理可得答案.【详解】根据题意，四个位置上恰有三个重复数字，可分两步完成，第一步从10个数字中任选一个安排在三个位置上，共有种情况，第二步在剩下的9个数字中任选一个安排在剩下的那个位置上，有9种情况，故共有种，即密码个数为360个，故选：C例5．算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（       ）A．8 B．10 C．15 D．16【答案】A【解析】【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果计算得解.【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之分，则只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，由分类加法计数原理得共有8种方法，所以表示不同整数的个数为8.故选：A例6．用1，2，3，4这4个数字可写出（       ）个没有重复数字的三位数．A．24 B．12 C．81 D．64【答案】A【解析】【分析】由题意，从4个数中选出3个数出来全排列即可.【详解】由题意，从4个数中选出3个数出来全排列，共可写出个三位数.故选：A例7．从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数的个数为（       ）A．48 B．36 C．24 D．18【答案】B【解析】【分析】直接利用乘法分步原理分三步计算即得解.【详解】从中选一个数字，有种方法；从中选两个数字，有种方法；组成无重复数字的三位数，有个.故选：B例8．某人忘了电脑屏保密码的后两位，但记得最后一位是1，3，5，7，9中的一个数字，倒数第二位是G，O，D中的一个字母，若他尝试输入密码，则一次输入就解开屏保的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】应用分步计数法求后两位的可能组合数，即可求一次输入就解开屏保的概率.【详解】由题设，后两位的可能情况有，∴一次输入就解开屏保的概率是.故选：C.例9．数字“”中，各位数字相加和为，称该数为“长久四位数”，则用数字组成的无重复数字且大于的“长久四位数”有（       ）个A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】确定数字和为9的四个数组有：、、共三组，分别排列成无重复数字的四位数可得结论．【详解】卡片上的四位数字之和等于，四个数字为组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有：，组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有个；组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有个，故共（个）.故选：C．例10．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（       ）A．60个 B．48个 C．36个 D．24个【答案】C【解析】【分析】先排个位，然后排万位，再排其它位置，由此计算出正确答案.【详解】先排个位，然后排万位，再排其它位置，所以由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个.故选：C例11．由1，2，3，4，5五个数组成没有重复数字的五位数，其中1与2不能相邻的排法总数为（       ）A．20 B．36 C．60 D．72【答案】D【解析】【分析】先排3，4，5，然后利用插空法在4个位置上选2个排1，2.【详解】先排3，4，5,,共有种排法，然后在4个位置上选2个排列1,2，有种排法，则1与2不能相邻的排法总数为种，故选：D.例12．定义空间直角坐标系中的任意点的“N数”为：在P点的坐标中不同数字的个数，如：，若点P的坐标，则所有这些点P的“N数”的平均值与最小值之差为（       ）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】【分析】由题意，点P的坐标中不同数字的个数，可分为三类：恰有3个相同数字的排列为种，恰有2个相同数字的排列为种，恰有0个相同数字的排列为种，求得其平均值和最小值，由此可得选项.【详解】解：由题意，点P的坐标中不同数字的个数，可分为三类：（1）恰有3个相同数字的排列为种，则共有4个；（2）恰有2个相同数字的排列为种，则共有36个；（3）恰有0个相同数字的排列为种，则共有24个．所以平均值为，故选：A．例13．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（       ）A．24 B．18 C．12 D．6【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合计数原理中的分步计算，以及排列组合公式，即可求解.【详解】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有种可能，从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为.故选：C.例14．十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据题意用根算筹组成的无重复数字三个数字组合为；；；，再由排列数计算总的基本事件的个数以及能被整除的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.【详解】用根算筹组成满足题意的无重复三个数字组合为；；；，三位数有；；；这四种情况每一种情况三个数的全排列，有种，能被整除的基本事件的个数为的全排列，有种，所以这个三位数能被3整除的概率为，故选：A.（多选题）例15．用0到8这9个数组成没有重复数字的四位偶数，则满足条件的四位偶数的个数为（       ）A． B．C． D．【答案】AD【解析】【分析】按四位偶数的个位数字分2种情况讨论，求出每种情况下的四位偶数的数目，再由加法原理计算即可.【详解】根据题意，分2种情况讨论：①0在四位数的个位时，在剩下8个数字中任选8个放在前3个数位即可，有个四位偶数；②2或4或6或8在四位数的个位有种可能，四位偶数的千位数字有种可能，在剩下的7个数字中任选2个放在中间的2个数位即可，有个四位偶数.故共有个四位偶数.又，，，故选：AB例16．某个密室逃脱游戏的一个环节是需要打开一个密码箱，已知该密码箱的密码由四个数字组成（每格都可以出现十个数字），且从之前的游戏环节得知，该密码的四个数字互不相同，且前两个数字均大于，最后两个数字均小于，则该密码的可能的情况数为______．【答案】【解析】【分析】根据题意计算密码前两个数的方法数，再计算后两个数的方法数，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】由题意知前两个数字可以从中任取个排列有种，后两个数字可以从这个数字中任取个排列有种，由分步乘法计数原理可知：该密码的可能的情况数为，故答案为：.例17．如果把个位数是，且恰有个数字相同其余数字均不相同的五位数叫做“优数”，那在由，，，，五个数字组成的有重复数字的五位数中，“优数”共有______个.【答案】【解析】【分析】从3个位置数字相同入手，先安排上三个位置放上相同数字，再安排其它两个位置的数字．【详解】个位数字为0，若十位，百位，千位，万位有三个位置数字是1，则有种安排，剩余那个位置从2，3，4中选一个，则有3种，所以3个数字是1有种，3个数字都是2，3，4一样有种，所以3个数字相同从1，2，3，4种选有种；若3个相同数字为0，由于个位已经为0，而万位不能为0，所以从十位，百位，千位3个中选2个位置放0，剩余两个位置从1，2，3，4中选出两个进行安排，所以有所以“优数”有．故答案为：84．例18．某个密室逃脱游戏的一个环节是要打开一个密码箱，已知该密码箱的密码由四个数字组成（每格都可以出现0~9十个数字），且从之前的游戏环节得知，该密码的四个数字互不相同，且前两个数字均大于6，最后两个数字均小于5.该密码的可能的情况数为______（请用数字作答）.【答案】120【解析】【分析】根据给定条件求出密码的前两个与后两个的排法数，再利用分步计数乘法原理计算作答.【详解】依题意，从7，8，9中任取2两个不同数字排前两位有种，从0，1，2，3，4中任取2两个不同数字排后两位有，由分步计数乘法原理得：，所以该密码的可能的情况数为120.故答案为：120例19．某九位数的各个数位由数字1，2，3组成，其中每个数字各出现3次，且数字1和数字2不能相邻，则符合条件的不同九位数的个数是___．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】排好三个后，将剩下的三个和三个进行分组，利用插空法，分类讨论不同分组下的情况，再由分类加法计数原理计算.【详解】由题意，先排三个，则有种情况，剩下的三个和三个分组，若分为组：或或，插空得种；若分为组：或，插空得种；若分为组：，插空得，所以共有种.故答案为：例20．用1，2，3，4排成的无重复数字的四位数中，其中1和2不能相邻的四位数的个数为___________（用数字作答）.【答案】【解析】【分析】利用插空法计算出正确答案.【详解】先排，形成个空位，然后将排入，所以符合题意的四位数的个数为.故答案为：例21．用组成所有没有重复数字的五位数中，满足与相邻并且与不相邻的五位数共有____________个.(结果用数值表示)【答案】【解析】【分析】由题意，先利用捆绑法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.【详解】因为满