高考数学专题03 椭圆中的参数问题-高考数学圆锥曲线重难点专题突破（全国通用）（解析版）

专题03椭圆中的参数问题一、单选题1．是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，设，则的最大值与最小值之和是（）A．16 B．9 C．7 D．25【解析】因为椭圆方程为椭圆，所以.设，则,又.∴.故.所以的最大值与最小值的和为.故选：D.2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点满足.若点是椭圆上的动点，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【解析】由椭圆C：可得：，，，．，．设，则又，，又．的最小值为．故选：B．3．已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为12，则m的值是（）A．2 B． C．3 D．【解析】因为，所以椭圆的焦点在轴上，由可知，，因为过的直线交椭圆于两点，所以，所以，所以当垂直于轴时，最短，此时最大，当时，，得，所以的最小值为，因为的最大值为12，所以，解得或（舍去），故选：B4．已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，一个顶点为.对于轴上的点，椭圆上存在点，使得，则实数的取值范围（）A． B． C． D．【解析】由题意得，，，则，故所求的椭圆标准方程为；设，，则①，又由，．则，，由可得，即，，②，由①②消去，整理得，，，，，故实数的取值范围为．故选：B5．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】如下图，延长、相交于点，连接，因为，则，因为为的角平分线，所以，，则点为的中点，因为为的中点，所以，，设点，由已知可得，，，则且，且有，，故，所以，.故选：C.6．设椭圆，已知点，点为曲线上的点，若的最大值为，则的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】设点，则，可得，，因为的最大值为，则关于的二次函数在上的最大值为.因为，则二次函数的图象开口向下.①当时，即当时，函数在上单调递减，则，合乎题意；②当时，即当时，函数，解得（舍去）.综上所述，.故选：A.7．设A，B是椭圆长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（）A．（0，1] B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，1]∪[9，+∞） D．[9，+∞）【解析】若椭圆焦点在轴上，即时，则当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点M满足，则此时，则，则，解得；若椭圆焦点在轴上，即时，则当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点M满足，则此时，则，则，解得；综上，m的取值范围是，故选：C.8．已知A，B是椭圆长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（）A． B． C． D．【解析】设点，则椭圆的对称性知，不妨令，而点A(-a，0)，B(a，0)，则，显然有，则，因椭圆的离心率为，即，，则，因，所以，当且仅当时取“=”，即的最小值为为.故选：B.二、多选题9．已知曲线，则下列结论正确的是（）A．若曲线C是椭圆，则其长轴长为 B．若，则曲线C表示双曲线C．曲线C可能表示一个圆 D．若，则曲线C中过焦点的最短弦长为【解析】由题意，若曲线C是椭圆，则，因为恒成立，所以椭圆的焦点在x轴上，所以其长轴长为，故A错误；若，根据双曲线的定义可知曲线C表示双曲线，故B正确；因为对任意的m恒成立，所以曲线C不可能表示一个圆，故C错误；若，则曲线C为椭圆，方程为，焦点坐标为，若过焦点的直线斜率为0时，此时该直线截椭圆C的弦长为；若过焦点的直线斜率不为0时，不妨设该直线过椭圆C的右焦点，方程为，与椭圆C的两个交点分别为，由，可得，则有，，当时，上式不等式可取等号，即，综上，可知椭圆中过焦点的最短弦长为，故D正确；故选：BD10．已知点在椭圆上，过点分别作斜率为-2，2的直线，与直线，分别交于，两点.若，则实数的取值可能为（）A． B．1 C．2 D．3【解析】设，，，则，，由题得四边形为平行四边形，所以，故故.因为，所以，故实数的取值范围为，故选:CD.11．已知，是椭圆的左，右焦点，动点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则的可能取值为（）A． B． C． D．【解析】由椭圆方程可得，由可得，则直线的方程为，即，直线的方程为，即，在的平分线上，①，，，则①式可化为，即，又，，结合选项可得m的可能取值为1，0，.故选：ACD.12．已知分别是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在使的面积为的点P的个数为4，则实数m的值可以是（）A．2 B．3 C． D．5【解析】当椭圆的焦点在轴上时，，此时，设椭圆的右顶点为，由于面积的最大值为的面积，所以，解得；当椭圆的焦点在轴上时，，此时，设椭圆的上顶点为B，则，由于面积的最大值为的面积，所以，解得.结合选项知实数m的值可以是2，5.故选：AD三、填空题13．已知椭圆，直线与轴交于点，与椭圆交于，两点，若，则________.【解析】由解得或，而，则点A(0，1)，，而P(-1，0)，，又，则有，解得，即.14．已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为____________【解析】点、，直线的方程为，即，直线的方程为，将代入直线的方程得，即点，故，因为，即，可得.15．设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为_____________．【解析】设且，∴，当且仅当且时等号成立.故答案为：216．点､分别为椭圆的左､右顶点，直线与椭圆相交于､两点，记直线､的斜率分别为､，则的最小值为___________【解析】设､，联立，消去并整理得，由韦达定理可得，，设直线的斜率为，则，，所以，，，而，因此，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.四、解答题17．已知椭圆：，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”.（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围.【解析】（1）由题意：，则，设，则，，二次函数开口向下，对称轴，在上单调递减，∴时函数值最大，此时为椭圆的短轴的另一个端点，∴椭圆是“圆椭圆”；（2）由（1）：椭圆方程：，，设，则，，，∴二次项系数，函数开口向下，由题意得，当且仅当时函数值达到最大，∴，解得：，综上，的范围为.18．已知椭圆的长轴长为，点在上.（1）求的方程；（2）设的上顶点为A，右顶点为B，直线与平行，且与交于，两点，，点为的右焦点，求的最小值.【解析】（1）因为的长轴长为，所以，即.又点在上，所以，代入，解得，故的方程为.（2）由（1）可知，A，B的坐标分别为，，直线的方程为，设，联立得，由，得，设，，，因为，所以D为MN的中点，则，因为，所以，又的坐标为，所以，因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.19．已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．【解析】（1）因为椭圆过，故，因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，故椭圆的标准方程为：.（2）设，因为直线的斜率存在，故，故直线，令，则，同理.直线，由可得，故，解得或.又，故，所以又，故即，综上，或.20．已知为椭圆与抛物线的交点，设椭圆的左右焦点为，抛物线的焦点为，直线将的面积分为9：7两部分.（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）若直线：与椭圆相交于两点，且的重心恰好在圆上，求的取值范围.【解析】（1）为椭圆与抛物线的交点，；；又直线将的面积分为9：7两部分；，解之可得：，抛物线的方程为：；椭圆的方程为：（2）设，，由得由，得…（※），且由重心恰好在圆上，得即，即∴化简得，代入（※）得，又设，，当且仅当时，取等号∴，则实数的取值范围为或21．设椭圆长轴的左，右顶点分别为A，B．（1）若P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线的斜率分别为，求的最小值；（2）已知过点的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点，直线分别交y轴于点S、T，记（O为坐标原点），当直线1的倾斜角为锐角时，求的取值范围．【解析】（1）设点，由椭圆的对称性知，不妨令，由已知，则，显然有，则，，则，因为，所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为．（2）当直线l的倾斜角为锐角时，设，设直线，由得，从而，又，得，所以，又直线的方程是：，令，解得，所以点S为；直线的方程是：，同理点T为·所以，因为，所以，所以∵，∴，综上，所以的范围是．22．已知椭圆：的离心率为，过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于、两点，为弦的中点..（1）求直线（为坐标原点）的斜率；（2）设椭圆上任意一点，且，求的最大值和最小值.【解析】（1）设椭圆的焦距为，因为，所以，故得，所以，所以椭圆方程为，椭圆的方程可化为，右焦点的坐标为，所以直线的方程为，设，由，得，所以，设，则，，所以，（2）显然可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立，设，则，所以，因为点椭圆上任意一点，所以，整理得，，因为，所以，因为、两点在椭圆上，所以，所以，所以，所以，当且仅当或时取等号所以，当且仅当时左边等号成，当且仅当时，右边等号成立，所以的最大值为，最小值为