高考数学专题09 双曲线中的定点、定值、定直线问题-高考数学圆锥曲线重难点专题突破（全国通用）（解

专题09双曲线中的定点、定值、定直线问题一、单选题1．已知为坐标原点，点在双曲线（为正常数）上，过点作双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的值为（）A． B． C． D．无法确定【解析】设，即有，双曲线的渐近线为，可得，由勾股定理可得，可得．故选：A．2．已知点，是双曲线（，）的左、右顶点，，是双曲线的左、右焦点，若，是双曲线上异于，的动点，且直线，的斜率之积为定值，则（）A．2 B． C． D．4【解析】设，，，则，，所以，又因为，所以，．又因为，所以，，所以．故选：A．3．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且与直线交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的标准方程是（）A． B．C． D．【解析】设双曲线方程为．将代入，整理得．由韦达定理得，则．又抛物线的焦点，所以，解得，，所以双曲线的方程是．故选C．4．已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为（）A．16 B．12 C．8 D．随变化而变化【解析】由双曲线方程知，，双曲线的渐近线方程为直线的倾斜角为，所以，又直线过焦点，如图所以直线与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，…………(1)，…………(2)，由(1)+(2)得，.故选：A5．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，，点A是双曲线右支上一点，且（O为坐标原点），则（）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】由题意，，因为，所以，所以点在以为直径的圆上，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，故选：.6．已知双曲线，为坐标原点，，为双曲线上两动点，且，则（）A．2 B．1 C． D．【解析】由题意设直线方程为，直线方程为，设，则，同理，所以，，即.故选：D7．已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则（）A．-4 B． C．4 D．6【解析】设，则，，，两式相减，得，即，即，同理，得，所以；故选A.8．已知双曲线x29−y216=1,过其右焦点F的直线交双曲线于P,Q两点，线段PQ的中垂线交x轴于点M，则MFPQ的值为（）A．53 B．58 C．54 D．56【解析】由已知点F5,0，不妨设过点F的直线的斜率为1，点P,Q的坐标分别为x1,y1,x2,y2，则直线PQ的方程为y=x−5，由y=x−5x29−y216=1，消去y得7x2+90x−369=0，所以x1+x2=−907，x1x2=−3697，由弦长公式得PQ=12+1−9072−4×−3697=1927，又y1+y2=x1−5+x2−5=x1+x2−10=−1607，则线段PQ的中点为N−457,−807，所以PQ的垂直平分线方程为y+807=−x+457，令y=0得x=−1257，所以MF=5+1257=1607，从而可得MFPQ=16071927=56，故选D.二、多选题9．已知为双曲线上一点，，，令，，下列为定值的是（）A． B．C． D．【解析】不妨设在第二象限，可得，即，而，，∴为定值，A正确；由倍角正切公式及，可得，，∴不为定值，B排除；，而，故为定值，C正确；由C知：不为定值，D排除；故选：AC.10．已知双曲线的离心率为2，点，是上关于原点对称的两点，点是的右支上位于第一象限的动点（不与点、重合），记直线，的斜率分别为，，则下列结论正确的是（）A．以线段为直径的圆与可能有两条公切线B．C．存在点，使得D．当时，点到的两条渐近线的距离之积为3【解析】当点，分别是的左、右顶点时，圆与恰有两条公切线，故A正确；设，，，则，则，所以，故B正确；，故C错误；当时，，渐近线方程为，即，点到两条渐近线的距离之积为，双曲线，点是的右支上位于第一象限，则，整理可得，代入上式可得，故D正确．故选：ABD．11．已知双曲线（，），，是其左、右顶点，，是其左、右焦点，是双曲线上异于，的任意一点，下列结论正确的是（）A．B．直线，的斜率之积等于定值C．使得为等腰三角形的点有且仅有8个D．的面积为【解析】A，根据双曲线方程以及双曲线的定义可得，所以A正确；B，设点，有，，直线的斜率之积，，所以B正确；C，根据双曲线对称性分析：要使为等腰三角形，则必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点使，此时为等腰三角形，也且仅有一个点使，此时为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C正确；D，，设，，由双曲线的定义可得，则，①由余弦定理可得，②②①得，，则，所以D不正确.故选：ABC12．已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点，，（在轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点，（在轴上方），为坐标原点，下列选项中正确的为（）A．恒成立B．若，则C．面积的最小值为1D．对每一个确定的，若，则的面积为定值【解析】设，代入得，①显然，，即，设，，则，是方程①的两个根，有，，设，，由得，由，得；所以，所以和的中点重合，所以，所以恒成立．故A正确．因为和的中点重合为，所以，又，所以，所以，故B正确．设直线方程为，，由得，由得，，，，，故C错误.因为，所以，得，即，所以，，又，，，所以是定值．故D正确．故选：ABD.三、填空题13．双曲线的左、右两支上各有一点A、B，点B在直线上的射影是点，若直线AB过右焦点，则直线必定经过的定点的坐标为___________．【解析】双曲线的右焦点为，设，直线与双曲线方程联立得，则，所以，直线的斜率为，所以直线的方程为，令化简得，，即，则恒成立，所以直线必定经过的定点的坐标为14．已知双曲线C：－y2＝1，直线l：y＝kx＋m与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，则直线l所过定点为________．【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(1－4k2)x2－8kmx－4(m2＋1)＝0，所以，x1＋x2＝＞0，x1x2＝＜0，所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.因为以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(－2，0)，所以kAD·kBD＝－1，即，所以y1y2＋x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝0，即＋＋＋4＝0，所以3m2－16mk＋20k2＝0，解得m＝2k或m＝.当m＝2k时，l的方程为y＝k(x＋2)，直线过定点(－2，0)，与已知矛盾；当m＝时，l的方程为y＝k，直线过定点，经检验符合已知条件．故直线l过定点.15．双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_____.【解析】设，，，，交圆于点，所以，易知:，即.16．已知双曲线，过双曲线上任意一点分别作斜率为和的两条直线和，设直线与轴、轴所围成的三角形的面积为，直线与轴、轴所围成的三角形的面积为，则的值为________.【解析】设，所以，令，所以，令，所以，所以；又，令，所以，令，所以，所以；所以.四、解答题17．已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.（1）若，求直线的方程；（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.【解析】设直线的方程为，设，，把直线与双曲线联立方程组，，可得，则，（1），，由，可得，即①，②，把①式代入②式，可得，解得，，即直线的方程为或．（2）直线的方程为，直线的方程为，直线与的交点为，故，即，进而得到，又，故，解得故点在定直线上．18．已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．（1）求双曲线的方程；（2）若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．【解析】（1）设双曲线的焦距为，因为离心率为2，所以，，联立，得：，所以点的坐标为，因为，所以的面积为，所以，双曲线的方程为.（2）设，，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，联立，所以点的横坐标为，，联立，得：，，，所以，直线与直线的交点在直线上.19．已知双曲线：的左、右顶点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点（点在轴上方）．（1）若，求直线的方程；（2）设直线的斜率分别为，，证明：为定值．【解析】（1）设点，，由，可得：，即，将，代入双曲线方程得，消去，解得：，又点在轴上方，点在轴下方，，，，直线的方程为.（2）过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，，可设直线的方程为，，，联立方程，消去整理得：，则，解得：，，，又，，，，，又，，即为定值.20．已知双曲线的一个焦点为，且经过点（1）求双曲线C的标准力程；（2）己知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值．【解析】（1）由题意．且．联立解得，所以双曲线C的标准方程为．（2）设，过点的动直线为：．设，，联立得，-所以，由且，解得且，，即，即，．化简得，所以，．化简得，由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，所以如果，那么，此时不在双曲线C上，舍去．因此，从而，所以，代入得，解得，此时在双曲线C上．综上，，，或者，．21．已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点．（1）求双曲线C的方程；（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）离心率为，则，，即双曲线方程为．又点在双曲线C上，所以，解得，，所以双曲线C的方程为．（2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，设，，则由，解得，即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在．不妨设直线AB的方程为，代入，整理得，设，，则，由，得，即，整理得，所以，整理得：，即，所以或．当时，直线AB的方程为，经过定点；当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意．综上，直线AB过定点（0，1）．22．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，．交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．【解析】（1）设，由题意可得：，即，两边同时平方整理可得：，所以曲线的方程为：；（2）若直线，斜率都存在且不为，设：，则：，由可得：，当时，即，方程为，此时只有一解，不符合题意，当时，，由韦达定理可得：，所以点的横坐标为，代入直线：可得：，所以线段的中点,用替换可得，，所以线段的中点，当时，，直线的方程为：，整理可得：，此时直线过定点，若时，则，，或，，直线的方程为，此时直线也过点，若直线，中一个斜率不存在，一个斜率为，不妨设斜率为，则：，：，此时直线的方程为，此时直线也过点，综上所述：直线过定点，