高考数学专题16 圆锥曲线与重心问题-高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)(解析版)

2023-11-18 · 17页 · 1.3 M

专题16圆锥曲线重心问题一、单选题1.已知点是椭圆上的三点,坐标原点是的重心,若点,直线的斜率恒为,则椭圆的离心率为()A. B.C. D.【解析】设,又由原点是的重心,得,即,又是椭圆上的点,,作差可得:,即,即,,故选:D2.已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点,直线交椭圆于两点,若恰好为的重心,则椭圆的离心率为()A. B.C. D.【解析】由题设,则线段的中点为,由三角形重心的性质知,即,解得:即代入直线,得①.又B为线段的中点,则,又为椭圆上两点,,以上两式相减得,所以,化简得②由①②及,解得:,即离心率.故选:C.3.设点为椭圆上一点,、分别是椭圆的左、右焦点,且的重心为点,如果,那么的面积为()A. B. C. D.【解析】由于点P为椭圆上一点,,,又,故为等腰三角形,以为底的高为:,故,,故选:C4.已知A是双曲线的左顶点,分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,G是的重心,若,则为()A. B. C. D.与的取值有关【解析】因为G是的重心,所以,又因,所以,,,,又,,.故选:B.5.设,是双曲线的左、右焦点,点是双曲线右支上一点,若的内切圆的半径为,且的重心满足,则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.【解析】如图所示:因为,所以,所以,,所以,又,解得,设,,所以.所以,解得,所以,代入双曲线方程得:,解得,所以.故选:C6.已知的三个顶点都在抛物线:,且,抛物线的焦点为的重心,则()A.40 B.38 C.36 D.34【解析】由题意知,解得,所以.设,,则由三角形的重心坐标公式得,化简得,根据抛物线的定义,得,故选:B.7.已知、、是抛物线上三个不同的点,且抛物线的焦点是的重心,若直线、、的斜率存在且分别为、、,则()A.3 B. C.1 D.0【解析】设,,则,,两式相减,得,则,设,同理可得,,因为焦点是的重心,所以,则,故选:D.8.已知抛物线:的焦点为,过点的直线交于,两点,的重心为点,则点到直线的距离的最小值为()A.2 B. C. D.【解析】由题意,抛物线为,可令直线为,若,,∴联立直线与抛物线得且,则,∴,又的重心为点,即,∴,则到直线的距离,∴当时,.故选:C.二、多选题9.椭圆的左、右焦点分别是,是椭圆第一象限上的一点(不包括轴上的点),的重心是,的角平分线交x轴于点(m,0),下列说法正确的有()A.G的轨迹是椭圆的一部分 B.的长度范围是C.取值范围是 D.【解析】设重心,又,∴,即,又是椭圆上一点,∴,即,故A正确;∵G的轨迹是椭圆的一部分,长半轴长为,短半轴长为,∴,故B错误;根据内角平分线定理可知,,又,∴,故C正确;同样利用内角平分线定理与焦半径公式,由可知,,∴,故D正确.故选:ACD.10.若双曲线,分别为左、右焦点,设点在双曲线上且在第一象限的动点,点为的内心,点为的重心,则下列说法正确的是()A.双曲线的离心率为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若,,则.D.存在点,使得【解析】由题意,双曲线,可得,则离心率为,所以A正确;设,的内切圆与边切于点,与边切于点,与边切于点,可得,由双曲线的定义可得,即,又由,解得,则的横坐标为,由与的横坐标相同,可得的横坐标为,可得在定直线上运动,所以B不正确;由且,解得,则,可得,所以,同理可得,设直线,直线,联立方程组,求得,设的内切圆的半径为,则,解得,即有,可得,由,可得,解得,可得,所以C正确;设,则,设的内切圆的半径为,则,于是,可得,若,可得,即,又由,联立可得,因此,解得,即存在点,使得,所以D正确.故选:ACD.11.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”,后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合,且恰为某三角形的外心,重心,垂心所成集合.若的斜率为1,则该双曲线的离心率可以是()A. B. C. D.【解析】设,由,得,得,由,得,得,由,得,得,,,,若为重心、为外心、为垂心,则,所以,化简得,此时双曲线的离心率,若为重心、为垂心、为外心,则,所以,化简得不成立;若为重心、为垂心、为外心,则,所以,化简得,此时双曲线的离心率,若为重心,为垂心、为外心,则,,化简得,此时双曲线的离心率;若为重心、为垂心、为外心,则,所以,化简得或,此时双曲线的离心率或,若为重心,为垂心、为外心,则,所以,化简得或都不成立.综上所述:或或或.故选:ABD12.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作,,点,点,且其“欧拉线”与圆相切,则下列结论正确的是()A.圆上点到直线的最大距离为B.圆上点到直线的最小距离为C.若点在圆上,则的最小值是D.圆与圆有公共点,则的取值范围是【解析】因为,由题意可得三角形的欧拉线为的中垂线,由,点可得的中点为,且,所以线段的中垂线方程为:,即,因为三角形的“欧拉线”与圆相切,所以圆心到直线的距离,所以圆的方程为:,因为圆心到直线的距离,A中,圆上点到直线的距离的最大值为,故A不正确:B中,圆上点到直线的距离的最小值为,故B正确;C中:令,所以,代入圆的方程,可得,整理可得,由于在圆上,所以有根,则,整理可得:,解得:,所以的最小值为1,即的最小值为1,所以C错误;D中:圆心坐标,半径为;圆的的圆心坐标为,半径为,要使圆与圆有公共点,则圆心距,所以,即解得:,解得,所以D正确;故选:BD.三、填空题13.已知,分别是双曲线:(,)的左、右焦点,过的直线与双曲线的右支交于第一象限内的一点,若为的重心,则该双曲线的离心率为______.【解析】设,,,则由重心坐标公式可得解得∴点的坐标为.∵点在曲线上,∴,∴.∵(),∴,∴,∴,∴,∴,解得或(舍),∴.14.已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),斜率为的直线l与椭圆C交于A,B两点.若△ABF1的重心为G,则椭圆C的离心率为________.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得+=0.(*)因为△ABF1的重心为G,所以故代入(*)式得,所以==,即a2=3b2,所以椭圆C的离心率e=.15.已知,,是抛物线上三个不同的点,且抛物线的焦点是的重心,若直线,,的斜率存在且分别为,,,则______.【解析】设,,则,,两式相减,得,所以,设,同理可得,.由于焦点是的重心,所以,故.16.已知抛物线E:y2=4x,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)为抛物线上的三个动点,其中x1<x2<x3且y2<0,若ABC的重心恰为抛物线E的焦点,且AB、AC、BC三边中点到抛物线E的准线的距离成等差数列,则直线AC的斜率为_____.【解析】如图所示,设是抛物线的焦点,,由题得,所以,即,同理因为是ABC的重心,所以因为AB、AC、BC三边中点到抛物线E的准线的距离成等差数列,所以,所以.由题得.所以因为,,所以直线AC的斜率为2.四、解答题17.在双曲线C:中,、分别为双曲线C的左右两个焦点,P为双曲线上且在第一象限内的点,的重心为G,内心为I.(1)求内心I的横坐标;(2)已知A为双曲线C的左顶点,直线l过右焦点与双曲线C交于M、N两点,若、的斜率、满足,求直线l的方程;(3)若,求点P的坐标.【解析】(1)依题意,双曲线C的焦点,作出的内切圆,I为圆心,切点分别为S,K,T,如图:设点I的横坐标为t,显然x轴,,由双曲线定义知,解得,所以内心I的横坐标为2;(2)点,显然直线l不垂直于x轴,否则由双曲线对称性得,设直线l的斜率为k,则直线l:,由消去y得:,显然,设,,则,解得,即直线l:,所以直线l的方程为;(3)设点,则的重心,因,则,而,,又,联立解得,从而有,解得,即点,所以点P的坐标为.18.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.(1)求椭圆的方程;(2)已知椭圆的右焦点与点关于直线对称,问:是否存在过右焦点的直线与椭圆交于两点,使的重心恰好在直线上?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题可得抛物线的交点为,,则,所以椭圆的方程为;(2)可得,则直线的方程为,假设存在符合题意的直线,当直线的斜率不存在时,直线的方程为,易得的重心坐标为,不满足在直线上,舍去;当直线的斜率存在时,设为,显然,则的方程为,设,联立方程得,则,要使的重心恰好在直线上,则,即,即,方程无解.综上,不存在满足条件的直线.19.若椭圆:的右焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,设为坐标原点,点满足,设直线的斜率为,且.(1)求椭圆的方程;(2)若为椭圆上一点,且点为△的重心,证明:.【解析】(1)设,,则,又,在椭圆上,∴,两式作差,整理得:,∴,又,∴,,故椭圆的方程为;(2)设直线的方程为,与椭圆联立并整理得:,,∴,则,又恰为△的重心,故坐标为,即因为在椭圆上,即,解得,∴,而,,故;∴.20.已知为椭圆与抛物线的交点,设椭圆的左右焦点为,抛物线的焦点为,直线将的面积分为9:7两部分.(1)求椭圆及抛物线的方程;(2)若直线:与椭圆相交于两点,且的重心恰好在圆上,求的取值范围.【解析】(1)为椭圆与抛物线的交点,;;又直线将的面积分为9:7两部分;,解之可得:,抛物线的方程为:;椭圆的方程为:(2)设,,由得由,得…(※),且由重心恰好在圆上,得即,即∴,化简得,代入(※)得,又设,,当且仅当时,取等号,∴,则实数的取值范围为或21.已知椭圆离心率为,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)设为坐标原点,,,是椭圆上不同的三点,且为的重心,探究面积是否为定值,若是求出这个定值;若不是,说明理由【解析】(1)由题知:,解得,,所以椭圆的方程为;(2)当直线的斜率不存在时,轴,点在轴上,.点到的距离为,则.当直线的斜率存在时,设直线由消去,整理,设,,则有,,,所以,,因为为的重心,则由,点在椭圆上,则得,点到直线的距离为;所以;综上:为定值.22.设是以为焦点的抛物线,是以直线与的渐近线,以为一个焦点的双曲线.(1)求双曲线的标准方程;(2)若与在第一象限有两个公共点,求的取值范围,并求的最大值;(3)是否存在正数,使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上?如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由.【解析】(1)由题可知焦点为,故焦点在轴上,设双曲线的方程为是以直线与为渐近线,,,,双曲线方程为;(2)抛物线的焦点,,联立双曲线方程消得:,可得,与在第一象限内有两个公共点和,,设,则将代入得,函数的对称轴为,,时,的最大值为9;(3)由(2)知的重心为,,,,假设恰好在双曲线的渐近线上,代入可得,,或,,存在正数,使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上

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