高考数学专题18 圆锥曲线与外心问题-高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)(解析版)

2023-11-18 · 16页 · 1.1 M

专题18圆锥曲线外心问题一、单选题1.已知点,是椭圆的左、右焦点,点是这个椭圆上位于轴上方的点,点是的外心,若存在实数,使得,则当的面积为8时,的最小值为A.4 B. C. D.【解析】由于外心在的垂直平分线上,故外心在轴上,而方向朝着轴的负半轴,故点位于椭圆的上顶点,此时三角形面积为.所以,故选.2.设为双曲线的右焦点,以为圆心,为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为,线段的中点为,的外心为,且满足,则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.【解析】由题,因为,所以、、三点共线,因为点为线段的中点,的外心为,所以,即,设双曲线的左焦点为,则点为线段的中点,则在中,,即,所以是直角三角形,所以,因为,由双曲线定义可得,所以,则,因为,整理可得,所以,则,故选:D3.已知坐标平面中,点,分别为双曲线()的左、右焦点,点在双曲线的左支上,与双曲线的一条渐近线交于点,且为的中点,点为的外心,若、、三点共线,则双曲线的离心率为()A. B.3 C. D.5【解析】不妨设点在第二象限,设,,由为的中点,、、三点共线知直线垂直平分,则,故有,且,解得,,将,即,代入双曲线的方程可得,化简可得,即,当点在第三象限时,同理可得.故选:C.4.已知是双曲线的左、右焦点,过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A,B两点,则坐标原点O可能为的()A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心【解析】对B,若O为的内心,则到直线的距离等于,显然不可能,到直线的距离恒小于,故B错误;对C,若O为的外心,则,,和已知矛盾,故B错误;对D,若O为的重心,则,这也显然错误,故C错误;根据排除法,O可能为的垂心,故选:A.5.在直角坐标系xOy中,F1(-c,0),F2(c,0)分别是双曲线C:的左、右焦点,位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点,△PF1F2的外心M的坐标为,△PF1F2的面积为2a2,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=±x B.y=x C.y=x D.y=±x【解析】由△PF1F2的外心M,知:,∴在△中,,即,故∠F1PF2=,在△中,,而,∴,即,∴,而,∴由题意知:,故双曲线的渐近线方程为:.故选:D.二、填空题6.已知点分别为双曲线的左、右焦点,点A,B在C的右支上,且点恰好为的外心,若,则C的离心率为__________.【解析】取的中点为C,连接BC、、,如图所示:因为,所以,又C为的中点,所以为等腰三角形且,因为点恰好为的外心,所以点在直线BC上,且,由双曲线的定义知,则,所以为等边三角形,则,在中,即,化简得,同时除以可得,解得或(舍去).7.已知椭圆和双曲线其中若两者图像在第二象限的交点为A,椭圆的左右焦点分别为B、C,T为△ABC的外心,则的值为_____.【解析】已知椭圆和双曲线焦距相等所以焦点相同,设,为两曲线在第二象限的交点,,,,设,,,,因为为中点,△ABC的外心在轴上,,8.已知点,是椭圆的左、右焦点,点是这个椭圆上位于轴上方的点,点是的外心,若存在实数,使得,则当的面积为8时,的最小值为__________.【解析】由G是△PF1F2的外心,则G在y轴的正半轴上,,则,则P,G,O三点共线,即P位于上顶点,则△PF1F2的面积S=×b×2c=bc=8,由a2=b2+c2≥2bc=16,则a≥4,当且仅当b=c=2时取等号,∴a的最小值为4,故答案为4.9.已知斜率为1的直线与抛物线交于两点,若的外心为为坐标原点),则当最大时,=____.【解析】由题意知,为外接圆的半径,在中,由正弦定理可知,(R为外接圆的半径),当,即时,取得最大值2.设,,易知,,则,得,即.设直线的方程为,即,代入得,,则,,所以,解得.故.10.已知的三个顶点均在抛物线上,给出下列命题:①若直线过点,则存在使抛物线的焦点恰为的重心;②若直线过点,则存在点使为直角三角形;③存在,使抛物线的焦点恰为的外心;④若边的中线轴,,则的面积为.其中正确的序号为______________.【解析】设三点坐标分别为,①直线过点,设方程为,联立,消去,得,,抛物线的焦点恰为的重心,,将点坐标代入抛物线方程,当时,,①正确;②直线过点,设方程为,联立消去得,,,,而点在抛物线上,故②正确;③设以抛物线焦点为圆心的圆半径为,其方程为,与抛物线方程联立得,方程至多只有一个非负解,即圆与抛物线至多只有两个交点,不存在,使抛物线的焦点恰为的外心;③不正确;④的方程为,代入抛物线方程得,,,设中点,轴,,,代入抛物线方程得,.④不正确.故答案为:①②.三、解答题11.在直角坐标系xOy中直线与抛物线C:交于A,B两点,且.求C的方程;若D为直线外一点,且的外心M在C上,求M的坐标.【解析】(1)联立得,设A(则,.从而.,,即,解得.故的方程为.(2)设线段的中点为.由(1)知,,.则线段的中垂线方程为,即.联立得,解得或4.从而的外心的坐标为或.12.已知椭圆的左右焦点分别是,是椭圆上一动点(与左右顶点不重合),已知的内切圆半径的最大值是椭圆的离心率是.(1)求椭圆的方程;(2)过作斜率不为0的直线交椭圆于两点,过作垂直于轴的直线交椭圆于另一点,连接,设的外心为,求证:为定值.【解析】(1)由题意知∶,∴a=2c,,设△的内切圆半径为r,则.故当面积最大时,r最大,即P点位于椭圆短轴顶点时,所以,把a=2c,代入,解得∶a=2,,所以椭圆方程为(2)由题意知,直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB为,代入椭圆方程得.,设,则,,因此可得,所以AB的中点坐标为(,)因为G是△ABQ的外心,所以G是线段AB的垂直平分线与线段BQ的垂直平分线的交点,由题意可知B,Q关于y轴对称,故,AB的垂直平分线方程为令y=0,得,即G(,0),所以又=故,所以为定值,定值为4.13.设椭圆的右焦点为,过的直线与相交于两点.(1)若,求的方程;(2)设过点作轴的垂线交于另一点,若是的外心,证明:为定值.【解析】(1)由题意知,直线的斜率存在,且不为0,设直线的方程为,代入得,设,则,若,则,解得,所以,的方程为(2)由(1)得的中点坐标为所以因为是的外心,所以是线段的垂直平分线与的垂直平分线的交点,的垂直平分线为令,得,即,所以,,所以为定值.14.在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且椭圆短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.(1)求椭圆的方程;(2)设经过点的直线交椭圆于,两点,点.①若对任意直线总存在点,使得,求实数的取值范围;②设点为椭圆的左焦点,若点为的外心,求实数的值.【解析】(1)依题意解得所以,所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为,代入椭圆的方程,消去,得.因为直线交椭圆于两点,所以,解得.设,,则有,.①设中点为,则有,.当时,因为,所以,即.解得.当时,可得,符合.因此.由,解得.②因为点为的外心,且,所以.由消去,得,所以,也是此方程的两个根.所以,.又因为,,所以,解得.所以.15.已知坐标原点为,双曲线的焦点到其渐近线的距离为,离心率为.(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)设过双曲线上动点的直线分别交双曲线的两条渐近线于,两点,求的外心的轨迹方程.【解析】(Ⅰ)由已知可得:且,即,,所以双曲线的方程为;(Ⅱ)设,,且由已知得,渐近线方程为,联立,解得:,所以;联立,解得:,所以;法一:设的外心,则由得:即——①,同理——②,①②两式相乘得,又∵所以的外心的轨迹方程为;法二:设的外心,线段的中垂线方程为:,线段的中垂线方程为:,联立,解得∵,即,代入得所以的外心的轨迹方程为;16.已知动圆过点且与直线相切,圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若,是曲线上的两个点且直线过的外心,其中为坐标原点,求证:直线过定点.【解析】(1)由题意到点的距离等于点到直线的距离,所以点轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,,,抛物线方程即点轨迹方程是.(2)因为直线过的外心,所以,的斜率一定存在,设方程为,代入抛物线方程得,或,所以,,即,同理得,直线方程为,整理得,时,,所以直线过定点.17.已知抛物线C:,点P为y轴左侧一点,A,B为抛物线C上两点,当直线过抛物线C焦点F且垂直于x轴时,面积为2.(1)求抛物线C标准方程;(2)若直线为抛物线C的两条切线,设的外心为M(点M不与焦点F重合),求的所有可能取值.【解析】(1)当直线过抛物线焦点F且垂直于x轴时,A,B两点横坐标为,代入抛物线方程,可得,故,,得,故抛物线C标准方程为.(2)设.直线的方程为:联立得,得,所以直线,同理直线,联立得则的中垂线方程分别为::,:.联立解得:,由于,故,,故,所以,则的所有可能取值为1.18.在平面直角坐标系中,已知圆:,点,,点在圆上,.(1)求圆的方程;(2)直线与圆交于,两点(点在轴上方),点是抛物线上的动点,点为的外心,求线段长度的最大值,并求出当线段长度最大时,外接圆的标准方程.【解析】(1)设,则,因为,所以所以,由上式得:,所以,所以圆的方程为.(2)把代入圆的方程得,所以,,作出线段的中垂线,则的外心为直线与轴的交点.直线的方程为:.当时,.因为点在抛物线上,所以所以.由得,所以,.当且仅当时,即时取到最大值.此时点坐标为,所以外接圆的半径,所以外接圆的标准方程为.19.已知抛物线的焦点为F,准线为,过焦点F的直线交抛物线E于A、B.(1)若垂直l于点,且,求AF的长;(2)O为坐标原点,求的外心C的轨迹方程.【解析】(1)由,,得,,故;(2)设,直线,由,得,由韦达定理得:,即有,易得的中垂线方程联立可得:,可得:,外心的轨迹方程为.20.已知抛物线,焦点为F,过外一点Q(不在x轴上),作的两条切线,切点分别为A,B,直线QA,QB分别交y轴于C,D两点,记的外心为M,的外心为T.(1)若,求线段CF的长度;(2)当点Q在曲线上运动时,求的最大值.【解析】,由题意知,直线,的斜率均不为零,其斜率都存在且异号,设方程为,不妨设,,,设,(1),,,则,,所以,,,所以线段CF的长度为.(2),设,设方程为,,同理,,的中点,,中垂线方程为,,即,线段的中点,线段的中垂线方程为,,,所以,,,线段的中垂线方程为,的中点,,中垂线方程为,,,,在上,所以,令,,,,令,,开口向下,,所以的最大值为.

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