高考数学专题14 抛物线中的定点、定值、定直线问题-高考数学圆锥曲线重难点专题突破（全国通用）（解

专题14抛物线中的定点、定值、定直线问题一、单选题1．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过坐标原点作两条互相垂直的射线，，与分别交于，则直线过定点（）A． B． C． D．【解析】由椭圆方程知其焦点坐标为，又抛物线焦点，，解得：，则抛物线的方程为，由题意知：直线斜率不为，可设，由得：，则，即，设，，则，，，，，解得：或；又与坐标原点不重合，，，当时，，直线恒过定点.故选：A.2．已知直线与抛物线交于不同的两点，，直线，的斜率分别为，，且，则直线恒过定点（）A． B． C． D．【解析】设直线为,联立,消去可得,设,,所以,因为,即,所以,所以,所以,所以直线一定过点,故选:C3．已知曲线：，过它的焦点作直线交曲线于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，可证明是一个定值，则（）A． B．1 C．2 D．【解析】设过焦点的直线方程为，代入整理得.设，，则，设的中点为，则，，所以，弦的垂直平分线方程为，令得，所以，又，显然，，即.故选：A.4．已知抛物线，过定点的直线与抛物线交于两点，若常数，则常数的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】设直线的方程为（为参数，是直线的倾斜角），代入抛物线方程得，，，，，此值与的取值无关，则，即．故选：A．5．抛物线x2＝－2y与过点P(0，－1)的直线l交于A，B两点，如果OA与OB的斜率之和为1，则直线l的方程是( )A．y=－x－1 B．y==x＋1 C．y==x－1 D．y==－x＋1【解析】由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为联立直线与抛物线，可得，，和的斜率之和为，即，，，直线的方程为，故选C.6．设点为抛物线的焦点，，，三点在抛物线上，且四边形为平行四边形，若对角线（点在第一象限），则对角线所在的直线方程为A． B．C． D．【解析】如图所示，设点的坐标为，则，所以，点的坐标为.所以线段的中点的坐标为.设，.有，，且.所以，所以，所以.对角线所在的直线方程为，即.故选：B.7．已知动点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切.若存在定点，使得为定值，则点的坐标为（）A． B． C． D．【解析】设，因为点关于坐标原点对称，所以是线段的中点，又因为以为圆心的圆过两点，所以有，因此有，因为点关于坐标原点对称，，所以.又因为以为圆心的圆与直线相切，所以有，把、代入中，得：，化简得：，因此点的轨迹是抛物线，该抛物线的焦点坐标为，准线方程为：，，由抛物线的定义可知：，所以有，由题意可知存在定点，使得当运动时，为定值，因此一定有，此时定点是该抛物线的焦点.故选：B.8．已知点在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点（）A． B． C． D．【解析】当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不符合题意，所以直线的斜率不为0，设其方程为，因为点在抛物线上，所以设，所以，解得或．又因为两点位于轴的两侧，所以．联立得，所以，即，所以直线的方程为，所以直线一定过点．故选：A．二、多选题9．抛物线的焦点为，动直线与抛物线交于两点且，直线分别与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（）A．直线恒过定点 B．C． D．若于点，则点的轨迹是圆【解析】由题意，，若，，则，，∵，即，又联立直线与抛物线有，∴，，则，∴，而，即，故过定点，A正确；若，，，，由：，可得，则；由：，可得，则；∴，而且，故，B正确；，，∴，C错误；∵在直线上，又过定点且，∴，故在以为直径的圆上，D正确；故选：ABD10．已知抛物线方程为，直线，点为直线l上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点为A､B，则以下选项正确的是（）A．当时，直线方程为 B．直线过定点C．中点轨迹为抛物线 D．的面积的最小值为【解析】，，设，则，即，同理，都过点，直线，即，当时，.故A正确；，，直线过定点，故B错误；联立，消去得，，，，中点坐标为，故其轨迹方程为，故C正确；，，，当时，，故D正确；故选：ACD11．已知抛物线，过焦点F作一直线l交抛物线于，两点，以下结论正确的有（）A．没有最大值也没有最小值B．C．D．【解析】由题意知，，直线AB的斜率不可能为0，故可设其方程为，联立，消去x，得，，，即选项C正确；由抛物线的定义知，，，，即选项B正确；，，，有最小值，即选项A错误；又，，即选项D正确；故选：BCD.12．已知点在拋物线的准线上，是拋物线的焦点.过点的两条直线分别与抛物线相切于点，，直线交直线于点，则下列结论正确的是（）A．拋物线方程为 B．直线的方程为C． D．【解析】因为点在抛物线的准线上，所以，，抛物线的方程为，故A错误.设，，则抛物线在，两点处的切线方程分别为，根据，化简可得，同理可得，因为两直线均过点，所以，，则点，均在直线上，所以直线的方程为，即，故B正确.联立直线与拋物线的方程得得，所以，所以，所以，，故C正确.又，，所以，所以，所以.故选：BCD.三、填空题13．经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线相交于点，则点必定在直线______上．（写出此直线的方程）【解析】抛物线中，焦点为，设直线方程为，代入抛物线整理得，设，，则，．由得，∴过点切线斜率为，切线方程为，即，同理过点切线方程为，两式相除得，整理得，解得，所以点在准线上．故答案为：．14．已知点P为直线l：x＝－2上任意一点，过点P作抛物线y2＝2px(p＞0)的两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x2为定值，则该定值为____．【解析】设过A(x1，y1)的切线方程为x＝my－my1＋x1．由得y2－2pmy＋2pmy1－2px1＝0，∴Δ＝4p2m2－4×2p(my1－x1)＝0，解得m＝．因此切线方程为y1y＝px＋px1，同理，过B(x2，y2)的切线方程为y2y＝px＋px2，又两切线的交点P在直线l：x＝－2上，故设P(－2，t)，则消去t得．从而，化简得(x1x2－4)(x2－x1)＝0，又x2－x1不恒为0，故x1x2－4＝0恒成立．故x1x2为定值4．15．过抛物线上一点P(4，4)作两条直线PA，PB，且它们的斜率之积为定值4，则直线AB恒过定点____.【解析】设A，B，则kPA=，同理，kPB=，kAB=.因为kPA·kPB=4，所以·=4，所以y1y2+4(y1+y2)+12=0.所以y1y2=-12-4(y1+y2).直线AB的方程为y-y1=，即(y1+y2)y-y1y2=4x.将y1y2=-12-4(y1+y2)代入上式得:(y1+y2)(y+4)=4(x-3)，所以直线AB恒过定点(3,-4).16．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为_______．【解析】由题设，知：，且，的斜率一定存在，可令：，：，，，，将它们联立抛物线方程，∴，整理得，显然，则，即由抛物线定义知：，，整理得，显然，则，即由抛物线定义知：，∵，有，∴.四、解答题17．在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离比到x轴的距离大1.（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点作斜率为的直线分别交曲线C于不同于N的A，B两点，且.证明：直线恒过定点.【解析】（1）解：由题意可知：，化简可得曲线.（2）证明：由题意可知，是曲线上的点，设，则，联立直线的方程与抛物线C的方程，，解得①，同理可得②，而③，又④，由①②③④整理可得，故直线恒过定点.18．设抛物线的焦点为，过且斜率k的直线与交于A，D两点，.（1）求；（2）若在上，过点作的弦，，若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标.【解析】（1）由题意得，的方程为，，设，，由，得，，故，所以，解得(舍)，.（2）因为在上，所以，设直线的方程为，，.联立，得，由得，，.因为，所以.所以，又因为，，所以，所以或，所以或.因为恒成立，所以，所以直线的方程，所以直线过定点.19．已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且.（1）求C的方程.（2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上.【解析】（1）解：设，，由，得，则，从而，解得，故的方程为.（2）证明：设，，，.因为，所以.根据得，则，同理得.又两式相加得，即，由于，所以.故点在定直线上.20．已知曲线上的点到的距离比它到轴的距离大1.（1）求曲线的方程；（2）过作斜率为的直线交曲线于､两点；①若，求直线的方程；②过､两点分别作曲线的切线､，求证：､的交点恒在一条定直线上.【解析】（1）设曲线上的点，由题可知到的距离与到直线的距离相等，所以，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，的方程为：.（2）设：过的斜率为的直线方程为：，①由消可得.令，，，，由题可知：若，即，即得，消去，得：，，所求直线的方程为：.证明②由题知：，，令，，设与相交于点.方程为：，方程为：，相减得：，代入相加得：，，，，､的交点恒在一条定直线上.21．在平面直角坐标系Oxy中，点F(1，0)，D为直线l:x=-1上的动点，过D作l的垂线，该垂线与线段DF的垂直平分线交于点M，记M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）若过点F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线x=1分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）连接，则，则根据抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线．则点的轨迹的方程为．（2）设直线的方程为，，，，，联立,整理得，，，，直线的方程为，同理：直线的方程为，令得，，，设中点的坐标为，，则，，所以．．圆的半径为．所以为直径的圆的方程为．展开可得，，令，可得，解得或．所以以为直径的圆经过定点和．22．已知抛物线的焦点为．点在上，．（1）求;（2）过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由．【解析】（1）因为点在上，所以①，因为，所以由焦半径公式得②，由①②解得,所以.（2）由（1）知抛物线的方程为，焦点坐标为，当直线与轴平行时，此时的方程为，的方程为，，此时为等腰直角三角形且，故.当直线与轴不平行且斜率存在时，若为定值，则定值比为，下面证明.要证明，只需证明，只需证，即，设直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，联立方程得，设，则，所以，，联立方程得，所以，所以，所以，即，所以.综上，为定值，.