高考数学专题15 圆锥曲线新定义问题-高考数学圆锥曲线重难点专题突破（全国通用）（解析版）

专题15圆锥曲线新定义问题一、单选题1．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（）A． B． C． D．【解析】由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b与半焦距c相等的椭圆是“对偶椭圆”，对于A，，即，A是“对偶椭圆”；对于B，，即，B不是“对偶椭圆”；对于C，，即，C不是“对偶椭圆”；对于D，，即，D不是“对偶椭圆”.故选：A2．已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在△，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（）A． B．C． D．【解析】对于A选项，，、，，所以，，到焦点距离的最小值为，最大值为，假设存在点，满足，则，解得，不合乎题意，所以A选项中的椭圆不存在“点”；对于B选项，，、，，所以，，到焦点距离的最小值为，最大值为，假设存在点，满足，则，解得，不合乎题意，所以B选项中的椭圆不存在“点”；对于C选项，双曲线的方程为，则双曲线的两个焦点为、，，，若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，则，可得，即双曲线存在“点”；对于D选项，双曲线的标准方程为，则，，、，所以，，若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，则，解得，所以D选项中的双曲线不存在“点”.故选：C.3．若曲线上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）A． B．C． D．【解析】A：因为，即是抛物线，没有自公切线，故A错误；B：因为，表示的是图形中的实线部分，没有自公切线，故B错误；C：因为，表示的是图形中的实线部分，由两圆相交，可知公切线，故有自公切线，故C正确；D：因为，即是双勾函数，没有自公切线，故D错误；故选：C.4．在平面直角坐标系中，定义称为点的“和”，其中为坐标原点，对于下列结论：（1）“和”为1的点的轨迹围成的图形面积为2；（2）设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2；（3）设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个”的充要条件是；（4）设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为.其中正确的结论序号为（）A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）【解析】（1）当时，点的轨迹如图，其面积为2，正确；（2）是直线上的一点，，可知，，时递减，时递增，故的最小值在时取得，，正确；（3）同（2），，可知当时，都满足，“和”最小的点有无数个，故错误；（4）可设椭圆参数方程为，易知其最大值为，正确.故选：B.5．已知椭圆的焦点为、，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），则称点为“★”点.下列结论正确的是（）A．椭圆上的所有点都是“★”点B．椭圆上仅有有限个点是“★”点C．椭圆上的所有点都不是“★”点D．椭圆上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★”点【解析】设点，则，、，，，由，得，即，解得，此时，所以，椭圆上有且只有个点是“★”点.故选：B.6．在平面内，曲线上存在点P，使点P到点A（3，0），B（-3，0）的距离之和为10，则称曲线C为“有用曲线”．以下曲线不是“有用曲线”的是（ ）A． B．C． D．【解析】由点P到点A（3，0），B（-3，0）的距离之和为10，可得．A．联立，化为41x2-250x+225=0，△=2502-41000＞0，因此曲线x+y=5上存在点P满足条件，∴是“有用曲线”，正确；同理与有交点，与显然有交点，因此可判断C，D给出的曲线是“有用曲线”，而B给出的曲线不是“有用曲线”，在内部，无交点7．已知椭圆的左、右焦点分别是，若，则称椭圆为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的序号是（）①在黄金椭圆中，成等比数列；②在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，则；③在黄金椭圆中，以为顶点的菱形的内切圆过焦点．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解析】对①，按照，所以，则，故①正确；对②，因为在中，，由①知，所以，即，故②正确；对③，以为顶点的菱形的内切圆是以原点为圆心，半径为的圆，所以圆过焦点．故选：D．8．已知点在曲线上，⊙过原点，且与轴的另一个交点为，若线段，⊙和曲线上分别存在点、点和点，使得四边形（点，，，顺时针排列）是正方形，则称点为曲线的“完美点”．那么下列结论中正确的是（）．A．曲线上不存在”完美点”B．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于C．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于D．曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于【解析】如图，如果点为“完美点”则有，以为圆心，为半径作圆（如图中虚线圆）交轴于，（可重合），交抛物线于点，当且仅当时，在圆上总存在点，使得为的角平分线，即，利用余弦定理可求得此时，即四边形是正方形，即点为“完美点”，如图，结合图象可知，点一定是上方的交点，否则在抛物线上不存在使得，也一定是上方的点，否则，，，，不是顺时针，再考虑当点横坐标越来越大时，的变化情况：设，当时，，此时圆与轴相离，此时点不是“完美点”，故只需要考虑，当增加时，越来越小，且趋近于，而当时，；故曲线上存在唯一一个“完美点”其横坐标大于．故选．二、多选题9．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（）A．与共轭的双曲线是B．互为共轭的双曲线渐近线不相同C．互为共轭的双曲线的离心率为、则D．互为共轭的双曲线的个焦点在同一圆上【解析】对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A错；对于B选项，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，B错；对于C选项，设，双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，所以，，当且仅当时，等号成立，C对；对于D选项，设，双曲线的焦点坐标为，双曲线的焦点坐标为，这四个焦点都在圆上，D对.故选：CD.10．数学家称为黄金比，记为ω.定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”.以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆.若黄金椭圆”：与它的焦点圆在第一象限的交点为Q，则下列结论正确的有（）A． B．黄金椭圆离心率C．设直线OQ的倾斜角为θ，则 D．交点Q坐标为(b,ωb)【解析】A：方程的一个根为，正确；B：由题意知，，则，错误；C：易知，且，则，所以，即，两边平方得，即，正确；D：由，结合知：Q点纵坐标为，而，错误.故选：AC11．发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是（）A．曲线C过坐标原点B．曲线C关于坐标原点对称C．曲线C关于坐标轴对称D．若点在曲线C上，则的面积不大于【解析】由题意设动点坐标为，则，即，若曲线C过坐标原点，将点代入曲线C的方程中可得与已知矛盾，故曲线C不过坐标原点，故A错误；把方程中的x被代换，y被代换，方程不变，故曲线C关于坐标原点对称，故B正确；因为把方程中的x被代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称，把方程中的y被代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称，故曲线C关于坐标轴对称，故C正确；若点P在曲线C上，则，，当且仅当时等号成立，故的面积不大于，故D正确.故选：BCD.12．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是（）A．对于半径为的圆，其圆上任一点的曲率半径均为B．椭圆上一点处的曲率半径的最大值为C．椭圆上一点处的曲率半径的最小值为D．对于椭圆上点处的曲率半径随着的增大而减小【解析】A：由题设知：圆的方程可写为，所以圆上任一点曲率半径为，正确；B、C：由弯曲最大处为，最小处为，所以在处有，在处有，即，故B错误，C正确；D：由题意，处的曲率半径，而，所以，令，则在上有恒成立，故在上随着的增大而增大，错误；故选：AC.三、填空题13．在平面直角坐标系xOy中，点M不与原点О重合，称射线OM与的交点N为点M的“中心投影点”，曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是_______【解析】曲线的渐近线方程为：，设渐近线与圆的交点分别为,如下图，则曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线为圆弧由题意，所以，所以,则14．已知曲线的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线.下列方程所表示的曲线中,是曲线的有__________（写出所有曲线的序号）①；②；③；④【解析】①的图象既关于轴对称，也关于轴对称，且图象是封闭图形，所以对于任意的点，存在着点使得，所以①满足；②的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为，所以渐近线将平面分为四个夹角为的区域，当在双曲线同一支上，此时，当不在双曲线同一支上，此时，所以，不满足，故②不满足；③的图象是焦点在轴上的抛物线，且关于轴对称，连接，再过点作的垂线，则垂线一定与抛物线交于点，所以，所以，所以③满足；④取，若，则有，显然不成立，所以此时不成立，所以④不满足.故答案为：①③.15．已知两定点,若直线上存在点,使得,则该直线为“型直线”.给出下列直线,其中是“型直线”的是___________.①②③④【解析】由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为，对于①中，把直线代入椭圆的方程，整理得，则，所以是“型直线”；对于②中，把代入，则，此时无解，所以不是“型直线”；对于③中，把直线代入椭圆的方程，整理得，则，所以是“型直线”；对于④中，把直线代入椭圆的方程，整理可得，所以不是“型直线”，综上，其中是“型直线”的是①③.16．在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点.②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．【解析】对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故错误；对于②，设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为与的图象关于轴对称，所以正确；③令单位圆上点的坐标为其伴随点为仍在单位圆上，故正确；对于④，直线上取点后得其伴随点消参后轨迹是圆，故错误.故答案为：②③.四、解答题17．已知椭圆：，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”.（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围.【解析】（1）由题意：，则，设，则，，二次函数开口向下，对称轴，在上单调递减，∴时函数值最大，此时为椭圆的短轴的另一个端点，∴椭圆是“圆椭圆”；（2）由（1）：椭圆方程：，，设，则，，，∴二次项系数，函数开口向下，由题意得，当且仅当时函数值达到最大，∴，解得：，综上，的范围为.18．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆，椭圆与是“相似椭圆”，已知椭圆的短半轴长为．（1）写出椭圆的方程（用表示）；（2）若椭圆的焦点在轴上，且上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围．【解析】（1）由椭圆与是相似椭圆，得，∴椭圆的方程为或．（2）由题设知：椭圆为，设，，，的中点为，．∴联立与椭圆的方程，整理得，∴，即且，，，由在直线，得，于是，∴的取值范围为．19．给定椭圆C：(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为.（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，