高考数学微专题13 导数解答题之双变量问题（解析版）

微专题13导数解答题之双变量问题秒杀总结1.破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.例1．（广东省潮汕地区精英名校2022届高三第一次联考数学试题）已知函数，为的导函数．(1)若只有一个零点，求a的取值范围；(2)当时，存在，满足，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求出，再二次求导，对分五种情况讨论得到a的取值范围；（2）先证明，再分和两种情况讨论证明不等式.(1)解：的定义域为，，令，则．∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．①若，则，无零点，不成立；②若，则有且只有一个零点，符合题意；③若，则，，，∴，，使，∴不只有一个零点，不成立．④若，则，又f'−1=−4e3<0，，∴，使，∴不只有一个零点，不成立．⑤若，则当时，，，，∴，使．∴有且只有一个零点，符合题意．综上，a的取值范围是．(2)解：当时，，由（1）知，当时，，单调递减；当时，，单调递增．又，，则，，∴．①若，则．②若，则，要证明，即证．又，，则只要证，即证．令．先证明一个不等式：，．令，则，∴在上单调递增．∴当时，，∴，．∴∴，∴综上，有．【点睛】方法点睛：函数的零点问题处理常用的方法有三种：（1）方程法：直接解方程得解；（2）图象法：画出函数的图象分析图象得解；（3）方程+图象法：令得到，再分析的图象即得解.例2．（浙江省台州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知，设函数．(1)当时，若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(2)若对任意实数，函数均有零点，求实数的最大值；(3)若函数有两个零点，证明：．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【解析】【分析】（1）当时，对函数求导，再根据和两种情况进行分类讨论函数的单调性，即可求出结果.（2）对函数求导，再根据和两种情况讨论函数的单调性，进而求出函数的最值；（3）由题意得，要证原命题成立，只要证成立；设，则，是函数的两根．再根据和两种情况讨论函数的单调性，再记函数有图象关于直线对称后是函数的图象，再求的正负情况，最后根据不等式关系，即可证明结果.(1)解：当时，．．当时，，则在上单调递增．当时，若，，在上不可能单调递增．．所以在上单调递增，则．(2)解：（ⅰ）当时，，在上单调递增．有零点．（ⅱ）当时，在上单调递增，在上单调递减．又当x趋近于时，f(x)趋近于；x趋近于时，f(x)趋近于；所以只要恒成立，则恒有零点．即恒成立．因为求的最大值，不妨设，．设，则．所以只要．即，得．所以的最大值为．(3)解：由题意得：只要证．设，．则，是函数的两根．．当时，，与函数有两个零点矛盾．所以．所以当时，．所以函数在上递增，在上递减．记函数有图象关于直线对称后是函数的图象．有．则．．所以时，．所以，即．所以．．所以．例3．（第13讲双变量问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练）已知函数(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，，证明：【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）函数求导后，分子为含参的二次三项式，结合，我们可以从和结合开口方向和两根的大小来讨论；（2），为函数的两个极值点，我们可以通过结合韦达定理，找到，的关系，带入到要证明的不等式中，然后通过整理，化简成一个关于的函数关系，再通过换元，构造函数，通过求解函数的值域完成证明.(1)，设．，，①当时，，，则，在上单调递增，②当时，，的零点为，，且，令，得，或，令，得，在，上单调递减，在，，单调递增，③当时，，的零点为，在上单调递增，在，上单调递减．综上所述：当时，在上单调递增；当时，在，上单调递减，在，，单调递增；当时，在上单调递增，在，上单调递减．(2)证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，不妨设，则，要证：，只要证，只需要证，即证，设，，设函数，，，，，在上单调递减，则，又，则，则，从而．【点睛】(1)含参的二次三项式再进行分类讨论的时候，如果二次项含参数，在讨论有根无根的情况下要兼顾到开口方向以及两根大小的比较；(2)如果函数在求导完以后，是一个分子上含有二次三项式，不含指数、对数的式子，那么函数的极值点关系，可以使用韦达定理来表示.过关测试1．（四川省成都市树德中学2021-2022学年高三上学期入学考试文科数学试题）已知函数，.（1）若存在单调递增区间，求的取值范围；（2）若，与为的两个不同极值点，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意知有解，分离可得有解，令，可得，利用导数求的最大值即可求解；（2）由题意知，是的两根，将，代入整理可得，所证明不等式为，令，问题转化为证明成立，利用导数证明单调性求最值即可求证.【详解】（1）函数定义域为，根据题意知有解，即有解，令，，且当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以；（2）由，是的不同极值点，知，是的两根，即，所以①，联立可得：②，要证，由①代入即证，即，由②代入可得③，因为，则③等价于，令，问题转化为证明④成立，而，在上单调递增，当，④成立，即得证.2．（浙江省宁波市2021-2022学年高三上学期11月高考模拟考试数学试题）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数有两个不同零点，，①求实数a的取值范围；②求证：．【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是(2)①；②证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；（2）①函数有两个不同零点，等价于方程有两个不同的实根．设，即方程有两个不同的实根．设，由导数确定的单调性、极值、函数值的变化趋势后可得；②由①，，要证，只需证．由①知，，故有，即．下面证明：即可．引入函数，由导数证明，利用单调性即可得结论．(1)对函数求导，得．当时，，因为函数的定义域，由，得，由，得，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．(2)由，得，①函数有两个不同零点，等价于方程有两个不同的实根．设，即方程有两个不同的实根．设，，再设，所以函数在上单调递增，注意到，所以当时，，当时，．所以在（0，1）上单调递减，在上单调递增．当时，，当时，，当时，，只需，即所求．②注意到，，要证，只需证．由①知，，故有，即．下面证明：．设，有，所以函数在上单调递增，所以，所以，故有．又，，且在上单调递减，所以，即得．因此，结论得证．3．（安徽省合肥市第一中学2021-2022学年高三上学期11月月考理科数学试题）已知函数.(1)当时，判断在区间上的单调性；(2)当时，若，且的极值在处取得，证明：.【答案】(1)在上是增函数．(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）求出导函数，设，再求导，由恒成立得单调递增，得，从而得的单调性；（2）利用导数得出的极小值点，注意，题设中，满足，考虑到，引入新函数，，利用导数确定是单调增函数，得，即得，再利用的关系，及函数的单调性可证得结论成立．(1)，时，，，设，则，时，恒成立，所以，即在上单调递增，又，所以时，恒成立，所以在上是增函数．(2)，，，由（1）知在上是增函数，，，所以在，即在上存在唯一零点，，时，，递减，时，，递增．是函数的唯一极小值点．若，则，设，，，由得，所以，由，得，，又，所以，所以是增函数，当时，，所以，，又，，所以，又，在上单调递增，所以，所以．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，证明与极值点，方程根有关的不等式，关于不等式的证明，题中涉及到两个未知数，因此解题中需要进行变形，一是利用函数的单调性，一是利用变量的关系，可以对待证不等式进行等价转化，结合函数单调性得出证明方法．如本题要证，不妨设后，由在上递增，等价于证明，从而等价于，这里只有一个未知数了，然后引入新函数，，再求得单调性达到证明目的．4．（第12讲双变量不等式：剪刀模型-突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练）已知函数．(1)求在点，处的切线方程；(2)若，证明：在，上恒成立；(3)若方程有两个实数根，，且，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可；(2)根据题意只需证，构造函数，求导分析函数的单调性根据单调性分析可得只能在处取得最小值，进而求解即可；(3)根据题意，构造和，利用二次求导讨论和的单调性和最小值，可得、，设方程的根和的根，再根据不等式的性质证明即可.(1)函数，由，由，，所以切线方程为，(2)当，时，，所以．故只需证，构造，，又在，上单调递增，且（1），知在，上单调递增，故（1）．因此，得证．(3)由（1）知在点，处的切线方程为．构造，，．当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．又，，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以．设方程的根．又，由在上单调递减，所以．另一方面，在点处的切线方程为．构造．，．当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．又，，（1），所在上单调递减，在上单调递增．所以（1）．设方程的根．又，由在上单调递增，所以．，，，所以，得证．【点睛】破解含双参不等式证明题的3个关键点（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.（3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.5．（第26讲拐点偏移问题-突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)当时，正实数，满足，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导，然后分和讨论导函数的正负值即可；（2）代入可得，变形可得，令，利用导数求出的最值，然后解不等式，比较大小即可.(1)，，，当时，，．在上是递增函数，即的单调递增区间为，无递减区间．当时，，令，得．当时，；当，时，．的单调递增区间为，单调递减区间为，．综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．(2)当时，，正实数，满足，，，令，则函数，，，当时，，当时，，（1），．则，或舍去．，，【点睛】关键点点睛：对于双变量问题，我们要通过变形和换元转化为单变量问题，然后构造函数解决.6．（第12讲双变量不等式：剪刀模型-突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练）已知函数，是的极值点．(1)求的值；(2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；(3)若关于的方程有两个不等实根，，求证：．【答案】(1)3(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2）由（1）可得曲线在点处的切线：.令，，则，由的单调性可得，从而可得结论成立；（3）设方程的解为，构造新函数，，利用导数研究函数的单调性，进而可得，结合与交点的横坐标，求出即可.(1)；由题意知，，；(2)证明：设曲线在，处切线为直线；令；；；在上单调递增，在，上单调递减；；，即，即上的点都不在直线的上方；(3)由（2）设方程的解为；则有，解得；由题意知，；令，；；在上单调递增；；的图象不在的下方；与交点的横坐标为；则有，即；；关于的函数在上单调递增；．【点睛】利用导数解决函数综合问题的过程中，难度较大，解决问题的基础是函数的单调性，通过函数的单调性得到函数的极值、最值，然后再结合所求问题逐步求解．证明两函数图象间的位置关系时，可通过构造函数，通过判断出函数的单调性，进而转化为函数最值的问题处理．7．（第13讲双变量问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练）已知函数,．(1)若曲线在处的切线在轴上的截距为，求的值；(2)证明：对于任意两个正数、，．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求出曲线在处的切线方程，由已知条件可得出关于的等式，即可求得实数的值；（2）利用分析法可知所证不等式等价于，利用作差法