2024届四川省内江市高中高三上学期第一次模拟考试数学理科试题

{#{QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=}#}{#{QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=}#}{#{QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=}#}{#{QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=}内江市高中２０２４届第一次模拟考试题数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题（本大题共１２小题，每小题５分，共６０分．）１．Ｄ２．Ｂ ３．Ｄ ４．Ｃ ５．Ａ ６．Ｂ ７．Ｂ ８．Ａ ９．Ｄ １０．Ｂ １１．Ａ １２．Ｃ二、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．）１３．９ １４．１０ １５．０．８１８６ １６．①③④三、解答题（共７０分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答，第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答．）ａ１＋ｄ＝３１７．解：（１）设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则５×４，５ａ＋ｄ＋ａ＋２ｄ＝３０{１２１ａ１＝１解得!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分{ｂ＝２所以ａｎ＝１＋２（ｎ－１）＝２ｎ－１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４分ｎｎ－１×２Ｓ＝１×ｎ＋（）＝ｎ２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６ｎ２分２（２）由（１）得ａｎ＋１＝２ｎ＋１，Ｓｎ＋１＝（ｎ＋１），ａｎ＋１２ｎ＋１１１则ｂｎ＝＝２２＝２－２!!!!!!!!!!!!!!!!９分Ｓｎ·Ｓｎ＋１ｎ（ｎ＋１）ｎ（ｎ＋１）１１１１１１１１所以Ｔｎ＝ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋…＋ｂｎ＝２－２＋２－２＋２－２＋…＋２－２１２２３３４ｎ（ｎ＋１）１＝１－２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分（ｎ＋１）１８．解：（１）为了判断两个函数模型：ｙ＝α＋βｘ２，ｙ＝ｅλｘ＋ｔ拟合程度，只需要判断两个函数模型ｙ＝α＋βｕ，ｖ＝λｘ＋ｔ拟合程度即可．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１分设｛ｕｉ｝和｛ｙｉ｝的相关系数为ｒ１，｛ｘｉ｝和｛ｖｉ｝的相关系数为ｒ２，１０珔珋∑（ｕｉ－ｕ）（ｙｉ－ｙ）ｉ＝１２６０ｒ１＝＝≈０．８７!!!!!!!!!!!２由题意１０１０１５０×２分珔２珋２∑（ｕｉ－ｕ）∑（ｙｉ－ｙ）ｉ＝１ｉ＝１１０槡槡珋珋∑（ｘｉ－ｘ）（ｖｉ－ｖ）ｉ＝１１８ｒ２＝＝＝０．９!!!!!!!!!!!!!!!!３１０１０１０×２分珋２珋２∑（ｘｉ－ｘ）∑（ｖｉ－ｖ）ｉ＝１ｉ＝１槡槡λｘ＋ｔ显然ｒ２＞ｒ１＞０，因此从相关系数的角度，模型ｙ＝ｅ的拟合程度更好!!!!!!４分（２）先建立ｖ关于ｘ的线性回归方程，由ｙ＝ｅλｘ＋ｔ得，ｌｎｙ＝λｘ＋ｔ，即ｖ＝λｘ＋ｔ，１０珋珋∑（ｘｉ－ｘ）（ｖｉ－ｖ）ｉ＝１１８珋珋λ＝１０＝＝０．１８，ｔ＝ｖ－λｘ＝５．３６－０．１８×２６＝０．６８!!!!!６分珋２１００∑（ｘｉ－ｘ）ｉ＝１∧所以ｖ关于ｘ的线性回归方程为ｖ＝０．１８ｘ＋０．６８，即ｌｎｙ＝０．１８ｘ＋０．６８!!!!!７分∧所求回归方程为ｙ＝ｅ０．１８ｘ＋０．６８!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８分（３）若２０２４年盈利额为８００亿元，即８００＝ｅ０．１８ｘ＋０．６８，ｌｎ８００＝０．１８ｘ＋０．６８，高三一模考试数学（理科）试题答案第 １页（共４页）{#{QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=}∵ｌｎ８００＝５ｌｎ２＋２ｌｎ５＝５×０．６９３＋２×１．６０９＝６．６８３!!!!!!!!!!!!１０分∴６．６８３＝０．１８ｘ＋０．６８，解得ｘ＝３３．３５所以２０２４年的研发资金投入额约为３３．３５亿元!!!!!!!!!!!!!!１２分ｘ＋１ｘ－１１９．１ａ＝１ｆ′ｘ＝（）（）ｘ＞０解：（）当时，（）ｘ（）令ｆ′（ｘ）＝０得ｘ＝１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分∵当ｘ∈（０，１）时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，当ｘ∈（１，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增，１∴ｆｘ＝ｆ１＝!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４（）极小值（）２，无极大值分１２ｆｘ≥１－ａｘ＋１ａ２－ｌｎｘ≥１－ａｘ＋１ａｘ２＋２ｘ≥２ｌｎｘ＋２ｘ＋２（）（）（），即２（），即（），∵ｘ＞０，即ｘ２＋２ｘ＞０２ｌｎｘ＋ｘ＋１∴ａ≥（）０＋∞原问题等价于ｘ２＋２ｘ在（，）上恒成立，２ｌｎｘ＋ｘ＋１ｇｘ＝（）ｘ∈０＋∞ａ≥ｇｘ!!!!!!!!!!６设（）ｘ２＋２ｘ，（，），则只需（）ｍａｘ分２（ｘ＋１）（ｘ＋２ｌｎｘ）ｇ′（ｘ）＝－２２，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分（ｘ＋２ｘ）令ｈ（ｘ）＝ｘ＋２ｌｎｘ，易知ｈ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增１１１１∵ｈ１＝１＞０ｈ＝＋２ｌｎ＝－２ｌｎ２＝ｌｎｅ－ｌｎ４＜０（），（２）２２２槡，１∴ｘ∈１ｈｘ＝ｘ＋２ｌｎｘ＝０!!!!!!!!!!!!８存在唯一的０（２，），使得（０）００，分∵当ｘ∈（０，ｘ０）时，ｈ（ｘ）＜０，ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增，当ｘ∈（ｘ０，＋∞）时，ｈ（ｘ）＞０，ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减２ｌｎｘ０＋２ｘ０＋２－ｘ０＋２ｘ０＋２ｘ０＋２１∴ｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（ｘ０）＝２＝２＝２＝!!!!!!!１０分ｘ０＋２ｘ０ｘ０＋２ｘ０ｘ０＋２ｘ０ｘ０１∴ａ≥即可ｘ０１１∵ｘ０∈（，１），∴∈（１，２），故整数ａ的最小值为２!!!!!!!!!!!!１２分２ｘ０Ｂ＋Ｃ２０．１∵ｂｓｉｎ＝ａｓｉｎＢ解：（）２π－ＡＡ∴ｂｓｉｎ＝ａｓｉｎＢｂｃｏｓ＝ａｓｉｎＢ２，即２ＡＡＡＡｓｉｎＢｃｏｓ＝ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＢｃｏｓ＝２ｓｉｎｃｏｓｓｉｎＢ!!!!!３由正弦定理得，２，即２２２分Ａ∵ＡＢ∈０π∴ｓｉｎＢ＞０ｃｏｓ＞０，（，），，２Ａ１ＡπＡππ∴ｓｉｎ＝∈０∴＝Ａ＝!!!!!!!!!!!!!!５２２，又２（，２），２６，即３分ａ２①△ＡＢＣＲ＝２Ｒ（）若选：设外接圆半径为，则根据正弦定理ｓｉｎＡ６有Ｒ＝＝２３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分３槡２×槡２高三一模考试数学（理科）试题答案第２页（共４页）{#{QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=}Ｍ为△ＡＢＣ的外心，则ＡＭ为外接圆半径，ＡＭ＝２槡３与已知ＡＭ＝４矛盾，故不能选①；!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分若选②：３∵Ｍ△ＡＢＣＤＢＣＡＤ＝ＡＭ＝３３!!!!!!!６为的重心，则为线段的中点且２槡分→１→→→→∴｜ＡＤ｜２＝｜ＡＢ｜２＋｜ＡＣ｜２＋２｜ＡＢ｜｜ＡＣ｜ｃｏｓＡ４（··），１２７＝ｃ２＋ｂ２＋ｂｃ ⅰ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８即４（）（）分又由余弦定理得ａ２＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃ·ｃｏｓＡ，即３６＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃ （ⅱ）!!!!!!９分联立（ⅰ）（ⅱ）得ｂｃ＝３６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１１分１１３∴Ｓ＝ｂｃｓｉｎＡ＝×３６×槡＝９３!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２△ＡＢＣ２２２槡分若选③：π∵Ｍ△ＡＢＣ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝!!!!!!!!!!!!!!!!６为的内心，则６分１π１π１πＳ＝Ｓ＋Ｓｂｃｓｉｎ＝ｃＡＤｓｉｎ＋ｂＡＤｓｉｎ由△ＡＢＣ△ＡＢＤ△ＡＣＤ有２３２··６２··６３１ｂｃ∵ＡＤ＝３３ ∴槡ｂｃ＝３３ｂ＋ｃｂ＋ｃ＝ ⅰ!!!!!!!!!８槡２槡·２（），即３（）分由余弦定理可得３６＝ｂ２＋ｃ－ｂｃ，即３６＝（ｂ＋ｃ）２－３ｂｃ （ⅱ）!!!!!!!!９分联立（ⅰ）（ⅱ）得ｂｃ＝３６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１１分１１３∴Ｓ＝ｂｃｓｉｎＡ＝×３６×槡＝９３!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２△ＡＢＣ２２２槡分１１１２１．１ｍ＝２ｆｘ＝ｘ－ｓｉｎｘ－ｌｎｘ＋１ｆ′ｘ＝１－ｃｏｓｘ－!!!!１解：（）当时，（）２，（）２ｘ分１１１１１１ｘ∈π＋∞ｆ′ｘ＝１－ｃｏｓｘ－≥１－－＝－＞０!!!!!!３当（，）时，（）２ｘ２π２π分所以，当ｍ＝２时，函数ｆ（ｘ）在（π，＋∞）上单调递增!!!!!!!!!!!!!４分（２）不妨设０＜ｘ１＜ｘ２，由ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）得１ｍ１ｍｘ－ｓｉｎｘ－ｌｎｘ＋１＝ｘ－ｓｉｎｘ－ｌｎｘ＋１１２１２１２２２２２，ｍ１∴ｌｎｘ－ｌｎｘ＝ｘ－ｘ－ｓｉｎｘ－ｓｉｎｘ．!!!!!!!!!!!!!!!５２（２１）２１２（２１）分设ｇ（ｘ）＝ｘ－ｓｉｎｘ，则ｇ′（ｘ）＝１－ｃｏｓｘ≥０，故ｇ（ｘ）在（０，＋∞）上为增函数，∴ｘ２－ｓｉｎｘ２＞ｘ１－ｓｉｎｘ１，从而ｘ２－ｘ１＞ｓｉｎｘ２－ｓｉｎｘ１，ｍ１１∴ｌｎｘ－ｌｎｘ＝ｘ－ｘ－ｓｉｎｘ－ｓｉｎｘ＞ｘ－ｘ２（２１）２１２（２１）２（２１）ｘ－ｘ∴ｍ＞２１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分ｌｎｘ２－ｌｎｘ１ｘｘ＜ｍ２ｍ＞ｘｘ要证１２，只要证槡１２ｘ２－１ｘ－ｘｘｘ２１＞ｘｘ１＞２!!!!!!!!!!!!!!８下面证明：ｌｎｘ－ｌｎｘ槡１２，即证ｘｘ分２１ｌｎ２槡１ｘ１高三一模考试数学（理科）试题答案第 ３页（共４页）{#{QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=}#}ｘ２ｔ－１ｔ－１ｔ＝ｔ＞１＞ｔｌｎｔ－＜０!!!!!!!!!!!９令ｘ，则，即证明ｌｎｔ槡，只要证明：分１槡ｔｔ－１ｔ－１２设ｈ（ｔ）＝ｌｎｔ－，得ｈ′（ｔ）＝－（槡）＜０，则ｈ（ｔ）在（１，＋∞）上单调递减，槡ｔ２ｔ槡ｔｔ－１当ｔ＞１时，ｈ（ｔ）＜ｈ（１）＝０，从而ｌｎｔ－＜０得证，!!!!!!!!!!!!１１分槡ｔ２∴ｘ１ｘ２＜ｍ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分２２．解：（１）设Ｐ的极坐标为（ρ，θ）（ρ＞０），Ｍ的极坐标为（ρ１，θ）（ρ１＞０）!!!!!１分４ρρ＝１６ρ＝１６Ｃρ＝４ｃｏｓθρ＞０!!!３由已知得·１，即·ｃｏｓθ，得２的极坐标方程为（）分２２所以Ｃ２的直角坐标方程为（ｘ－２）＋ｙ＝４（ｘ≠０）!!!!!!!!!!!!!!５分（备注，没有ｘ≠０扣１分）（２）设点Ｂ的极坐标为（ρＢ，α）（ρＢ＞０），由题设知｜ＯＡ｜＝２，ρＢ＝４ｃｏｓα!!!!!６分１πＳ＝｜ＯＡ｜ρｓｉｎ∠ＡＯＢ＝４ｃｏｓαｓｉｎα－于是△ＯＡＢ２·Β··（３）π３＝２ｓｉｎ２α－－槡!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８（３）２分ππ４ππ２π－≤α≤－≤２α－≤因为２２，所以３３３πα＝－Ｓ２＋３△ＯＡＢ２＋３!!!１０所以当１２时，取得最大值槡，所以面积的最大值为槡分２３．解：（１）证明：因为ａ＋ｂ＋ｃ＝３，且ａ，ｂ，ｃ都是正数１１１１１１１＋＋＝ａ＋ｂ＋ｂ＋ｃ＋ａ＋ｃ＋＋!!２所以ａ＋ｂｂ＋ｃａ＋ｃ６［（）（）（）］（ａ＋ｂｂ＋ｃａ＋ｃ）分１ｂ＋ｃａ＋ｂｂ＋ｃａ＋ｃａ＋ｂａ＋ｃ＝３＋＋＋＋＋＋!!!!!!!!!!３６［（ａ＋ｂｂ＋ｃ）（ａ＋ｃｂ＋ｃ）（ａ＋ｃａ＋ｂ）］分１３≥３＋２＋２＋２＝!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４６（）２分（当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ＝１时取等号）１１１３＋＋≥!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５所以ａ＋ｂｂ＋ｃａ＋ｃ２得证分（２）因为（ａ＋ｂ＋ｃ）２＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａｃ≤３ａ２＋３ｂ２＋３ｃ２!!!!!!!７分所以ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥３（当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ＝１时取等号）２２２所以（ａ＋ｂ＋ｃ）ｍｉｎ＝３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８分由题意得－ｘ２＋ｍｘ＋２≤３恒成立，即ｘ２－ｍｘ＋１≥０恒成立!!!!!!!!!!９分因此△＝ｍ２－４≤０，即－２≤ｍ≤２，故存在实数ｍ∈［－２，２］使不等式成立!!!１０