福建省三明第一中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

三明一中2023-2024学年高三月考二数学学科试卷（总分150分，时间：120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则（）A. B. C. D.2.已知两个向量，，且，则（）A.2 B.3 C.4 D.63.在的展开式中，常数项为（）A.10 B.20 C.40 D.804.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，且与所成的角和与所成的角相等，则5.2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（）A.1120 B.7200 C.8640 D.144006.一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则（）A. B. C. D.7.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（）A.3 B. C. D.28.已知函数，若实数，满足，则的最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（）A.频率分布直方图中的值为0.005B.估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75C.估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在内的学生人数为22510.已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（）A. B. C. D.为中点11.红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色，已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色;等量的红色加蓝色调配出紫色;等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配，表示事件“甲调配出红色”;表示事件“甲调配出绿色”;表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（）A.事件与事件是独立事件 B.事件与事件是互斥事件C. D.12.在数列中，，，.则下列结论中正确的是（）A. B.是等比数列C. D.三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是角终边上的一点，则________.14.已知圆雉的侧面积为，它的侧面展开图为一扇形，扇形顶角的大小为，则该圆锥体积为________.15.设点是圆：上的动点，定点，，则的取值范围为________.16.如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（10分）记的角，，的对边分别为，，，且.（1）求;（2）若，求的最小值.18.（12分）已知函数，若函数的图象上任意一点关于原点对称的点都在函数的图象上.（1）求函数的解析式;（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.19.（12分）如图，四棱雉中，底面是矩形，平面底面，且是边长为2的等边三角形，，在上，且平面.（1）求证：是的中点.（2）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值;若不存在，说明理由.20.（12分）中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的瑰宝，中国象棋使用方形格状棋盘，圆形棋子共有32个，红黑各有16个棋子，摆动和活动在交叉点上.双方交替行棋，先把对方的将（帅）将死的一方获胜，为丰富学生课余生活，现某中学举办象棋比赛，经过3轮的筛选，最后剩下甲乙丙三人进行最终决赛.甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙与甲，乙比赛获胜的概率都为.（1）如果甲与乙采用5局3胜制比赛（其中一人胜3局即结束比赛），那么甲胜乙的概率是多少；（2）若第一轮甲与乙比赛，丙轮空;第二轮由丙与第一轮的胜者比赛，败者轮空;第三轮由第二轮比赛的胜者与第二轮比赛的轮空者比赛，如此继续下去（每轮都只比赛一局），先胜两局者获得冠军，每场比赛相互独立且每场比赛没有平局，求乙获得冠军的概率.21.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程;（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，记的面积为，求的最大值.22.（12分）设数列的前项之积为，满足.（1）设，求数列的通项公式;（2）设数列的前项之和为，证明：.三明一中2023-2024学年高三月考二数学学科参考答案一、选择题123456789101112BACCBDCCADBCDBCDABD二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：（1）因为，由正弦定理得：，即，………………………………………………1分由余弦定理得：，…………………………2分因为，…………………………………………3分所以；………………………………………………4分（2）由正弦定理：，，，…………………………5分则，…………………………6分又因为，…………7分代入得：，…………9分当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为3.…………………………………………10分18.解：（1）设为图象上任意一点，则是点关于原点的对称点，…………2分因为在的图象上，所以，…………………………4分即，故……………………………………6分（2）即，…………………………7分设，…………………………8分则，………………………………9分易知，所以在上是增函数，…………………………10分所以，可得.…………………………11分故实数的取值范围是.………………………………12分19.解：（1）连接交于点，连接，………………………………1分∵是矩形，∴是中点.……………………………………2分又平面，且是平面与平面的交线，∴，……………………………………………………3分∴是的中点………………………………………………4分（2）取中点，则，，两两垂直.以为原点，建立空间直角坐标系（如图），……5分则，，，，，…………6分假设存在点满足要求，设，则由得，…………………………………………7分设平面的法向量为，∵，，………………………………8分则，即，取，得，，∴，…………………………………………9分同理，平面的一个法向量为，…………………………10分由，得，解得，………………………………11分故存在，使二面角为直角，此时…………………………12分20.解：（1）记比三局甲获胜的概率为，则，………………1分比四局甲获胜的概率为，则，……………………2分比五局甲获胜的概率为，则，……………………3分则甲获胜的概率为，答：甲胜乙的概率为………………………………4分（2）若第一轮乙胜，则第二轮由乙丙比赛，若第二轮乙胜，则结束比赛，且概率为;……6分若第二轮丙胜，则进入第三轮甲丙比赛，必须甲胜，再进入第四轮由甲乙比赛，并且乙获胜结束比赛，且概率为;…………………………8分若第一轮甲胜，则第二轮由甲丙比赛，必须丙胜，再进入第三轮由丙乙比赛，必须乙胜，再进入第四轮由甲乙比赛，乙获胜，结束比赛，且概率为，……………………10分故乙获得冠军的概率为，………………………………11分答：乙获得冠军的概率为……………………………………12分21.解：（1）因为，所以，则，……………………1分所以的标准方程为，因为点在上，所以，………………………………2分解得，从而，.………………………………3分所以的标准方程为.………………………………4分（2）易知点在的外部，则直线的斜率存在且不为0，设，，，…………………………5分联立方程组消去得，………………6分由得，由根与系数的关系知，.………………7分所以，化简得⋅………………………………8分设点到直线的距离为，则，…………………………9分所以的面积.令，得，所以，……………………10分因为，所以，………………………………11分当且仅当，即时，等号成立.因为满足，所以的最大值为…………………………12分评分细则：第二问另解：（2）设，，，联立方程组，消去得.由得，由根与系数的关系知，.所以，化简得.设点到直线的距离为，则，所以的面积.令，得，所以，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.因为满足，所以的最大值为.22.（1）因为数列的前项之积为，满足，所以当时，，解得.…………………………1分当时，，………………………………2分化为，变形为，………………………………3分又，所以，即且，……………………4分则数列是以为首项，2为公比的等比数列所以.………………………………5分（2）由（1）可得：，解得，……………………6分当时，.……………………7分∴，……8分需要证明，即证明，………………………………9分设，，……………………………………10分则，设，…………………………11分则函数在上单调递增，所以，即，