内蒙古呼和浩特市2023-2024学年高三上学期学业质量监测理科数学试题

呼和浩特市2023—2024学年第一学期高三年级学业质量监测理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时长120分钟.2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数的共轭复数是，满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.已知向量，，若，则（）A.2 B.4 C. D.4.已知一个正三棱柱的三视图如下图所示，则该三棱柱的体积为（）A. B.12 C. D.165.俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为.记事件为“8月份某天刮风”，事件为“8月份某天下雨”，则（）A. B. C. D.6.在斜三角形中，若，则（）A.1 B. C. D.27.直线（）截圆所得弦长的最小值是（）A.2 B. C.4 D.68.已知函数，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.9.在中，为的角平分线，在线段上，若，，则（）A. B. C.2 D.10.小明将与等边摆成如图所示的四面体，其中，，若平面，则四面体外接球的表面积为（）A. B. C. D.11.过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、两点，且，若抛物线的准线与轴交于点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.12.若向量，，则以、为邻边的平行四边形的面积可以用、的外积表示出来，即.已知在平面直角坐标系中，、，，则面积的最大值为（）A.1 B. C.2 D.3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中常数项为______.14.将函数（）的图象向右平移个单位后，所得到的函数图象关于轴对称，则______.15.已知双曲线：（，）的左右焦点分別为、，过的直线与双曲线交于、两点（在第一象限，在第四象限），若，则该双曲线的离心率为______.16.已知函数，当时，恒成立.则实数的取值范围是______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个学生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）2023年秋末冬初，某市发生了一次流感聅病，某医疗团队为研究本地的流感疾病与当地居民生活习惯（良好、不够良好）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100人（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：良好不够良好病例组2575对照组4555（1）分别估计病例组和对照组中生活习惯为良好的概率；（2）能否有99%的把握认为感染此次流感疾病与生活习惯有关？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.（12分）已知正方体的棱长为2，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.19.（12分）已知正项数列满足：.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.20.（12分）已知椭圆的方程为（），离心率为，点在椭圆上.其左右顶点分别为、，左右焦点分别为、.（1）求椭圆的方程；（2）直线过轴上的定点（点不与、重合），且交椭圆于、两点（，），当满足时，求点的坐标.21.（12分）已知函数.（1）求在处的切线方程；（2）若，且，求证：.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的普通方程；（2）若，，在曲线上任取一点，求的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）将函数的图象与直线围成图形的面积记为，若正数、、满足，求证：.2024高三理科数学参考答案一、选择题123456789101112BDCABDCCBCBA二、填空题13.8014.15.16.三、解答题17.（1）由调查数据，病例组为生活习惯为良好的频率，因此病例组为生活习惯为良好的概率的估计值为0.25；对照组为生活习惯为良好的频率因此对照组为生活习惯为良好的概率的估计值为0.45.（2）由于，故有99%的把我说患有该疾病与生活习惯有关.18.（1）证明：取中点，连接、、∵、为中点，∴又∵，∴四边形为平行四边形∴又∵平面，平面∴平面（2）解：以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面，则设平面，，∴平面与平面夹角的余弦值为19.解：（1）当时，，∴当时，，∴时，符合上式，∴（2）∴20.解：（1）由题知，又，所以，，故椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，，，，，联立，得，由韦达定理，得，由题得，（*）∵，∴，∴，解得故直线的方程为，经过轴上的定点.21.（1）解：，，，故在处的切线方程为（2）证明：（），∵∴，（）下证：（）令∵，∴又，∴，即.22.解：（1）的参数方程为（），可得的普通方程为（2）的普通方程为，直线的斜率为，直线的方程为：，即.则上任意一点到直线的距离，易得，所以，.23.解：（1）由可得，即，解得.所以不等式的解集为.（2），由图可知：，则（当且仅当时，等号成立）即，即.