福建省莆田第六中学2023-2024学年高三上学期1月质检模拟测试+数学+Word版含解析

莆田六中高三上学期1月模拟测试数学学科试卷命题人：高三备课组审核人：高三备课组一．选择题（每题5分，共40分，每题只有一个符合题意的选项）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A. B. C. D.3.已知向量满足，则的夹角为（）A. B. C. D.4．函数的图象大致为（    ）A．   B．  C．   D．  5.亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（）A.288种 B.360种 C.480种 D.504种6.若函数，的值域为，则的取值范围是（）A.B.C. D.7.已知，，，则（）A.B.C. D.8.已知定义在上的奇函数满足，则对所有这样的函数，由下列条件一定能得到的是（）A. B. C. D.二．多项选择题（每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.图中所有小长方形的面积之和等于1 B.中位数的估计值介于100和105之间C.该班成绩众数的估计值为97.5 D.该班成绩的极差一定等于4010.一副三角板由两个直角三角形组成，如图所示，且，现将两块三角板拼接在一起，得到三棱锥，取和中点、，则下列判断中正确的是（）A.直线面B.三棱锥体积为定值.C.与面所成的角为定值D.设面面，则∥11．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点，点P到点Q和到y轴的距离分别为，则（）A．抛物线C的准线方程为B．若，则周长的最小值等于3C．若，则的最小值等于2D．若，则的最小值等于12.定义在上函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（）A.函数为奇函数B.不等式的解集为C.若方程有两个根，，则D.在处的切线方程为三．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.展开式中的系数为______.（用数字作答）．14.等比数列的前n项和为，若，，，，则=______.15.已知为坐标原点，分别是椭圆的左顶点､上顶点和右焦点，点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为______.16.与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为______.四．解答题(本大题共6小题，共70分)17．（10分）在中，内角，，所对的边分别为，，，满足.(1)求角的大小；(2)若，边上的中线的长为，求的面积.18．（12分）在数列中，．(1)证明：数列为常数列．(2)若，求数列的前项和．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）记的中点为，若在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长.20．（12分）近年来我国新能源汽车产业迅速发展，下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份销量（万台）某机构调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主女性车主总计(1)求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与之间的线性相关关系的强弱；（若，相关性较强；若，相关性一般；若，相关性较弱）(2)请将上述列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，分析购车车主购置新能源乘用车与性别是否有关系？①参考公式：相关系数；②参考数据：；③卡方临界值表：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828其中，.21．已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点.(1)求双曲线的方程(2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：△的垂心在双曲线C上.22．（12分）已知函数.(1)求曲线在处切线的斜率；(2)当时，比较与x的大小；(3)若函数，且（），证明：.莆田六中高三上学期1月模拟测试数学学科答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分12345678CBBCCDAC二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9101112ABCACDBDAC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．-814．3115．16．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．（10分）【详解】（1）由已知及正弦定理得，…………………………1分则，……………………3分在中，故，…………………………………………4分又，故.…………………………………………………………………………5分（2）由，得，………………………………………6分由题意，则，…………………7分即，解得，……………………………………………9分故的面积为.…………………………………………10分  18.（12分）【详解】（1）令，得，．………………………………1分因为①，所以②．……………………………………2分①-②得，即．…………………………4分因为，所以数列为常数列．…………………………………………5分（2）由（1）可得，所以是公差为1的等差数列，所以．………7分因为，………………………………………………………………………8分所以③，④．………………………………………………………………9分③-④得，…………………………………………………………………11分所以．…………………………………………………………………12分19．（12分）【详解】（Ⅰ）连接，则，因为，所以四边形为平行四边形；所以，因为且为的中点，所以，………2分所以，所以，即，………3分又因为，所以平面；………………………………………4分（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则,所以,…………5分设平面的法向量为，则，即，取，…………6分设平面的法向量为，则，即，取，…7分所以，…………………9分（Ⅲ）设，则，而，所以，由（Ⅱ）知平面的法向量为，设直线与平面所成的角为，则，…………………11分化简得，解得：或，故线段的长度为或.……………12分20.【详解】（1）由表格知：，，（1分）所以，（2分），（3分），（4分）由上，有，（6分）所以与之间的线性相关性较强；（7分）（2）依题意，完善表格如下：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主女性车主总计（9分）则的观测值，（11分）根据小概率值的独立性检验，我们认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此推断犯错误概率不大于.（12分）21.解：（1）因为双曲线的离心率为，所以，即，所以双曲线的方程为，联立直线与双曲线的方程，消去得，即，因为与双曲线C仅有一个公共点，所以，解得,故双曲线的方程为.（2）设，，则满足消去得，所以，，如图所示，过A引的垂线交C于另一点H，则AH的方程为.代入得，即（舍去）或.所以点H为.所以，所以，故为的垂心，得证.22．（12分）【详解】（1）解：因为函数，可得………1分则，……………………………………………………………………………2分所以曲线在处切线的斜率为.…………………………………………………3分（2）解：设函数，可得，…4分当时，，则在上单调递增，………………………………5分所以，从而，所以.…………………………………6分（3）证明：设函数，当时，，，则恒成立，则由，得，……………………………………………………7分又，所以，……………………………………………8分因为，可得，令，可得，所以单调递增，即在单调递增，所以，所以在上单调递增，又由，所以，…………………………9分同理得，要证，只需证，即证，因为，所以，……………………………………………………………10分设函数，则，所以在上单调递增，因为，所以，所以，所以，………………………11分所以，从而得证.……………………………12分选择题第8题，第12题答案8.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件易得是周期为的奇函数，且是一条对称轴，再结合各项判断是否一定有成立即可.【详解】由题设，即，所以是周期为的奇函数，且是一条对称轴，当时，则，，不符合当时，则且，不符合；当时，则，，故；当时，则且，不符合；故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全不选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.12.【答案】AC【解析】【分析】根据奇函数的定义即可判定A，根据导数的运算可得进而可求解，即可求解BD，根据二次函数的图象性质，即可求解C.【详解】对于A，，由可得，所以，且定义域为，故为奇函数，A正确，由于，所以为常数，则又在中，令，则，故，故，所以，对于B,可得，又，故，则，故B错误，对于C，为单调递增函数，而为开口向上，且对称轴为的二次函数，且是的两个交点，的两个交点设为，则，且，又为单调递增函数，所以，所以，C正确，由得，所以在处的切线方程为，D错误，故选：AC