数学-2023-2024学年北京朝阳区高三期末

2024北京朝阳高三（上）期末数学2024.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。Ax=x{|03}≤≤Bx=x{|log1}（1）已知集合，3，则AB=（A）[0,3]（B）[0,3)（C）(0,3)（D）(0,3]（2）设aR，若复数(2ai)−+(2i)在复平面内对应的点位于虚轴上，则a=（A）−4（B）−1（C）1（D）4（3）若01a，则11aa（A）aa32（B）2311（C）logaalog（D）sincosaa23π1a=2,A=,cosC=−（4）在△ABC中，若63，则c=32838（A）（B）（C）（D）3393（5）在平面直角坐标系xOy中，已知点AB(0,1),(2,1)，动点P满足PA=PB0，则||OP的最大值为（A）（B）2（C）2（D）21+ABCD−ABCDABCDEB//ACD（6）如图，在正方体1111中，点E是平面1111内一点，且平面1，则tanDED1的最大值为2（A）（B）2（C）（D）mf()()x=x+mR（7）设函数x−2的定义域为(−1,2)，则“−30m≤”是“fx()在区间内有且仅有一个零点”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件第1页/共12页（8）设抛物线C的焦点为F，点E是的准线与的对称轴的交点，点P在上，若=PEF30，则sin=PFE33（A）（B）4323（C）（D）22（9）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用Q表示产量，L表示劳动投入，K表示资本投入，A表示技术水平，则它们的关系可以表示为QA=KL，其中AKL0,0,0,01,01．当不变，与均变为原来的2倍时，下面结论中正确的是11（A）存在和，使得不变2211（B）存在和，使得变为原来的倍221（C）若=，则最多可变为原来的倍4221（D）若+=，则最多可变为原来的倍2（10）在△ABC中，AB==AC42，当R时，||AB+BC的最小值为4．若AM=MB，ππ22[,]AP=+sinABcosAC，其中63，则||MP的最大值为（A）（B）（C）25（D）42第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。2()x+5（11）在x的展开式中，x的系数为________．（用数字作答）{}aSa,,aaa=S=（12）已知等差数列n的公差为，n为其前n项和，且284成等比数列，则4________，n________．xy222−2=1(ab0,0)（13）已知双曲线ab的一条渐近线过点(−2,1)，则其离心率为________．1−xx2,[−1,1],fx()=2|x−a|−2,x(1,3].（14）设函数当a=0时，fx()的最大值为________；若无最大值，则实数a的一个取值为________．（15）中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》中用迭代法给出第2页/共12页a一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数N，取一正数1作为N的第一个近似值，定义N,,n为奇数anan+1=+aann−1,,n为偶数aaa,,,,Na==310,2则12n是的一列近似值．当1时，给出下列四个结论：a210①3；aa10②45；n≥2aa③，21nn2−+1；22④n≥2，|aa2nn−10||2−1−10|．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）2已知函数fxxxxmm()cos3=+sincos()+R的图象过原点．（Ⅰ）求m的值及fx()的最小正周期；（Ⅱ）若函数在区间[0,t]上单调递增，求正数t的最大值．（17）（本小题14分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//DC,,ABC=90AB=2DC，侧面PBC⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：DE//平面PBC；（Ⅱ）已知AB==BC2，PB=PC，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥唯一确定，求二面角E−−BDC的余弦值．P条件①：AP=22；E条件②：AP⊥BC；DC15AB条件③：直线AP与平面所成角的正切值为5．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．第3页/共12页（18）（本小题13分）某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息．教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示．30000298742500021034200001796118763182451500010937100001298280685890832750007603643068906581011月4日11月5日11月6日11月7日11月8日11月9日11月10日甲乙图1频率/组距0.060.040.030.020.01051015202530步数（单位：千步）图2（Ⅰ）从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率；（Ⅱ）从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为X，求的分布列及数学期望；（Ⅲ）根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示．已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据．（只需写出结论）（19）（本小题15分）已知函数f(x)=x−alnx−1(aR)．（Ⅰ）若曲线y=f()x在点(1,0)处的切线为x轴，求a的值；（Ⅱ）讨论fx()在区间(1,+)内的极值点个数；第4页/共12页2（Ⅲ）若fx()在区间(1,+)内有零点t，求证：ta．（20）（本小题15分）22xy25E:22+=1(ab0)已知椭圆ab的左顶点为A，上顶点为B，原点O到直线AB的距离为5，△AOB的面积为1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P(−2,1)的直线l与椭圆交于不同的两点CD,，过点C作x轴的垂线分别与直线AD,AB交于点MN,．判断点N是否为线段CM的中点，说明理由．（21）（本小题15分）{}a*Bia=k{|}N*b已知n是各项均为正整数的无穷递增数列，对于kN，定义集合ki，设k为集合BB=b=0k中的元素个数，若k时，规定k．a=2nb,,bbb（Ⅰ）若n，写出123及10的值；{}b（Ⅱ）若数列n是等差数列，求数列的通项公式；S={ssnan|=+,NN**},T={ttnbn|=+,}*（Ⅲ）设集合nn，求证：ST=N且ST=．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）第5页/共12页参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）B（3）B（4）D（5）D（6）C（7）A（8）B（9）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）52（11）40（12）8nn+（13）2（14）43（答案不唯一）（15）①④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由fm(0)1=0+=得m=−1．2所以f(x)=cosx+3sinxcosx−1cos213x+311=+−=+−sin21sinx2cos2xx22222π1=+sin(2−)x62．2πT==π所以fx()的最小正周期为2．·················································7分πππ2kπ−≤22x+≤kπ+（Ⅱ）由262（kZ），ππkπ−+≤x≤kπ得36（）．ππ[kkπ−+,π]所以的单调递增区间为36（）．ππ0−[,]因为在区间[0,t]上单调递增，且36，此时k=0，ππt≤所以6，故t的最大值为6．························································13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）取PB的中点F，连接CF,EF．P因为E是PA的中点，所以EF//AB,AB=2EF．EFDC又因为AB//DC,AB=2DC，AB第6页/共12页所以EFDC//且EFDC=．所以四边形CDEF为平行四边形．所以DECF//．又因为DE平面PBC，CF平面，所以DE//平面．·······································································5分（Ⅱ）取BC的中点O，连接PO．因为PB=PC，所以PO⊥BC．zP又因为侧面PBC⊥底面ABCD，PBC且平面平面ABCDBC=，ExDC所以PO⊥平面．yO如图，在平面中，作OyBA//，AB则POBCPOOyOyBC⊥⊥⊥,,，建立空间直角坐标系Oxyz−．选条件①：连接AO，在Rt△ABO中，因为AB=2，BO=1，所以AO=5．在Rt△PAO中，因为AP=22，，所以PO=3．13ABCDPE(−1,2,0),(−1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,3),(−,1,)所以22．13BE==(,1,),BD(2,1,0)所以22．设平面EDB的法向量是m=(,,)xyz，则13x+y+z=0,m=BE0,22m=BD0,即2xy+=0.令x=1，则yz=−2,=3．于是m=−(1,2,3)．因为平面，所以n=(0,0,1)是平面BDC的法向量．mn36cosmn,===所以|mn|||224．6−由题知，二面角E−−BDC为钝角，所以其余弦值为4．····················14分选条件③：连接，因为平面，第7页/共12页所以PAO是直线AP与平面ABCD所成角．PO15tan==PAO所以AO5．在Rt△ABO中，因为ABBO==2,1，所以AO=5．PO15AO==5,在Rt△PAO中，因为AO5，所以PO=3．下同选条件①．···············································································14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）设“甲比乙的步数多”为事件A．在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多，2PA()=所以7．···············································································3分（Ⅱ）由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天．X的所有可能取值为0,1,2，C3C012CC24CC121PX(0)=========52,(1)PX52,(2)PX52C337C37C7777．所以的分布列为012241P7772416EX()=0+1+2=7777．··························································10分（Ⅲ）11月6日．·····················································································13分（19）（共15分）afx()=−1解：（Ⅰ）由f(x)=x−alnx−1(aR)得x，依题意，fa(1)=1−=0，得a=1．经验证，f(x)=x−lnx−1在点(1,0)处的切线为y=0，所以．············4分ax−afx()=1−=（Ⅱ）由题得xx．（1