湖北省部分重点中学2023-2024学年高三上学期第二次联考数学试题

湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考高三数学试卷试卷满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集UR，集合Ax0x2，B1,1,2,4，那么阴影部分表示的集合为（）A．1,4B．1,2,4C．1,4D．1,2,4z23i2．已知复数z满足，则z（）23izA．3B．13C．7D．133．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为42，高为22，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（）12896162A．B．32πC．D．32+162334．在平面直角坐标系中，A1,1，B2,3，则向量OA在向量OB上的投影向量为（）101315131015A．,B．,13131313学科网（北京）股份有限公司525255C．,D．,2222555．若sin，则cos2（）121361195011950A．B．C．D．1691691691696．设A，B为任意两个事件，且AB，PB0，则下列选项必成立的是（）A．PAPABB．PAPABC．PAPABD．PAPAB7．已知exsinxax1对任意x[)0,恒成立，则实数a的取值范围为（）A．(,2]B．[2,)C．(,1]D．[1,)1x2y28．斜率为的直线l经过双曲线1(a0,b0)的左焦点F，交双曲线两条渐近线于A，B两点，3a2b21F2为双曲线的右焦点且AF2BF2，则双曲线的离心率为（）51015A．5B．C．D．223二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．下列结论正确的是（）A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B．若随机变量，满足32，则DD32C．若随机变量~N4,2，且P60.8，则P260.6D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到24.712．依据0.05的独立性检验()x0.053841．，可判断X与Y有关）10．下列命题正确的是（）A．若an、bn均为等比数列且公比相等，则anbn也是等比数列B．若an为等比数列，其前n项和为Sn，则S3，SS63，SS96成等比数列学科网（北京）股份有限公司C．若an为等比数列，其前n项和为Sn，则Sn，SS2nn，SS3n2n成等比数列．若数列的前项和为，则“*”是“为递增数列”的充分不必要条件DannSnan0nNSn11．已知2a3b6，则下列关系中正确的是（）22A．ab4B．ab2C．a2b28D．a1b1212．已知四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，AD1，PC与底面ABCD所成角2的正切值为，点M为平面ABCD内一点，且AMAD01，点N为平面PAB内一点，2NC5，下列说法正确的是（）A．存在入使得直线PB与AM所成角为6B．不存在使得平面PAB平面PBM226C．若，则以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥PABCD各面的交线长为2455D．三棱锥NACD外接球体积最小值为6三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。621313．x的展开式中x的系数为______．x314．与直线yx和直线y3x都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为2的圆的方程为______．3．已知函数xx1，若，则实数的取值范围为．15f(x)log2421xf2a1fa3a______16．欧拉函数n()nN*的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1n2的两个正整数称为互质整数），例如：32，42，则8______；若b，则b的最n2an大值为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若btanAtanB2ctanB，BC边的中线长为2．（1）求角A；学科网（北京）股份有限公司（2）求边a的最小值．18．（本题满分12分）已知等比数列的前项和为，且*．annSnan13Sn2nN（1）求数列an的通项公式；（2）在an与an1之间插入n个数，使这n2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列dn中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．19．（本题满分12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为6的等边三角形，CC16，ACC160，D，E分别是线段AC，CC1的中点，平面ABC平面C1CAA1．（1）求证：AC1平面BDE；（2）若点P为线段BC11上的中点，求平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值．20．（本题满分12分）x2y28已知椭圆的左焦点为，且过点．:221(ab0)F11,0A1,ab3（1）求椭圆的标准方程；（2）过F1作一条斜率不为0的直线PQ交椭圆于P、Q两点，D为椭圆的左顶点，若直线DP、DQ与直线l:x40分别交于M、N两点，l与x轴的交点为R，则MRNR是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．21．（本题满分12分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn．学科网（北京）股份有限公司（1）求X2的概率分布列并求EX2；3*（）求证：*为等比数列，并求出且．2EXnn2且nNEXn()n2nN222．（本题满分12分）elnx1ex已知函数fx1alnx，hx．xex13（1）当x1时，求证：h()xx；22x23a（2）函数fx有两个极值点x1,x2，其中x1x2，求证：e．x1学科网（北京）股份有限公司湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考高三数学试卷参考答案123456789101112ABCBADABCDBDABDBCD22232913．2014．(x1)(y1)15．,416．4；23417．解：（1）因为btanAtanB2ctanB，sinABCBsin2sinsin所以sinB，cosABBcoscossinABABCBcoscossin2sinsinsinB，cosABBcoscossinBCCBsin2sinsincosABBcoscos1因为sinB0，sinC0，cosB0，所以cosA，又0A，所以A．23（2）因为BC边的中线长为2，所以ABAC4，所以c2b22bccosA16，16即b2c216bc2bc，解得bc，当且仅当bc时取等号．31643所以a2c2b22bccosA162bc，a3343所以a的最小值为．318．（1）由题意知：当n1时，a1q3a12①2当n2时，a1q3a1a1q2②n1联立①②，解得a12，q4．所以数列an的通项公式an24．n1n（2）由（1）知an24，an124aa64n1所以aa(n21)d．所以dn1n．n1nnn1n1学科网（北京）股份有限公司设数列dn中存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．k12m1p12646464则dkdmdp，所以，k1m1p13642k2364mp2即(k1)2(m1)(p1)又因为m，k，p成等差数列，所以2kmp所以k12m1p1化简得k22kmpmp所以k2mp又2kmp，所以kmp与已知矛盾．所以在数列dn中不存在3项dm，dk，dp成等比数列．．（）证明：连接四边形是菱形，191AC1CC1A1AAC1AC1又D，E分别为AC，CC1的中点DE∥AC1AC1DE，又△ABC为等边三角形，D为AC的中点BDAC平面平面，平面平面，平面ABCCCAA11ABCCC1A1AACBDABCBD平面CC1A1A，又AC1平面CC1A1A，BDAC1又，，，平面AC1DEBDDEDBDDEBDEAC1平面BDE（），，为等边三角形2ACCC16ACC160△C1CAD是AC的中点，C1DAC由（1）得BD平面CC1A1A以D为原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则学科网（北京）股份有限公司，，，，D(0,0,0)B33,0,0C10,0,33C0,3,0A10,6,331333CPCB,,01222333333P,,33，DB33,0,0，DP,,332222设平面PBD的一个法向量为nx,,yz，33x0nDB0则，即333nDP0xy33z022取z1，则y23．所以n0,23,1是平面PBD的一个法向量由（1）得是平面BDE的一个法向量mCA10,9,33mn153513cosm,n|m||n|631326513即平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值为268．解：（）由题知，椭圆的右焦点为，且过点，201CF21,0A1,322882所以2a26，所以a3．又c1，所以b8，33x2y2所以C的标准方程为1．98（2）设直线PQ的方程为xty-1，P(x1,y1),Q(x2,y2)学科网（北京）股份有限公司xty122由x2y2，得(8t9)y16ty64019816t64所以yy，yy，128t29128t29y1y1y1直线DP的方程为y(x3)，令x4得，yMx13x13ty12y2同理可得yNty22yyyy所以1212|MR||NR||yMNy|2(ty12)(ty22)ty1y22ty1y24641664t232t24(8t29)916故MRNR为定值。921．解：（1）X2可能取0，1，2，322114则PX(0)；2333381211112114PX(3)；23333333381122221222212222132PX(1)；233333333333333338141PXPXPXPX(2)1(0)(1)(3)，222281分布列为：0