2024年度高三寒假新结构适应性测试模拟试卷（二）- 原卷

2024年度高三寒假新结构适应性测试模拟试卷（二）数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知z－2eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋6i，则z的虚部为( )A．－6 B．－6iC．2 D．2i2．已知集合S，T满足S∪(∁RT)＝R，S＝{0，1，2，4}，则T可能是( )A．{0，1，2，4} B．{0，1，2，3}C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，4，5}3．从小到大排列的数据1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的第三四分位数为( )A．3 B．eq\f(3＋x,2)C．8 D．eq\f(8＋y,2)4．已知函数f(x)＝nx＋lnx(n∈N*)的图象在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))))处的切线的斜率为an，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n项和Sn为( )A．eq\f(n,4（n＋1）) B．eq\f(1,n＋1)C．eq\f(3n2＋5n,2（n＋1）（n＋2）) D．eq\f(3n2＋5n,8（n＋1）（n＋2）)5．已知直线l：4x－2y－7＝0与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B(不重合)，AB的垂直平分线过点(3，0)，则双曲线C的离心率为( )A．eq\f(2\r(3),3) B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(6),2)6．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，所有棱长为4，∠DAB＝eq\f(π,3)，∠BAA1＝eq\f(2π,3)，以A为圆心，2为半径分别在平面ABCD和平面ABB1A1内作弧eq\o(MN,\s\up8(︵))，eq\o(NE,\s\up8(︵))，点M，N，E分别在AD，AB，AA1上，并将两弧各六等分，等分点依次为P1，P2，P3，P4，P5以及Q1，Q2，Q3，Q4，Q5，如图，一只蚂蚁欲从点P2出发，沿平行六面体表面爬行至Q4，则其爬行的最短距离为( )A．eq\f(4π,3) B．2eq\r(3)C．2 D．eq\r(6)－eq\r(2)7．在我国古代，杨辉三角(如图1)是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)＋…＋Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(2,n＋1)，类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为( )A．2Ceq\o\al(3,2023)－2 B．2Ceq\o\al(3,2024)－2C．Ceq\o\al(4,2024)－2 D．Ceq\o\al(4,2023)－28．定义在正整数上的函数满足f(k＋2)＝eq\r(3)f(k＋1)－f(k)(k∈N*)，则f(65)＝( )A．f(1) B．f(3)C．f(5) D．f(7)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD＝2，E是BC的中点，则( )A．eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2) B．eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0 D．eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))10．已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是( )A．C1与C2的公切线恰有4条B．C1与C2公共弦的方程为3x＋4y－9＝0C．C1与C2公共弦的弦长为eq\f(12,5)D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝1211．甲、乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（t）＝\f(（ex＋e－x）X0,2)－\r(\f(b,a))·\f(（ex－e－x）Y0,2)，,y（t）＝\f(（ex＋e－x）Y0,2)－\r(\f(a,b))·\f(（ex－e－x）X0,2)，,x＝\r(ab)t，))其中正实数X0，Y0分别为甲、乙两方初始实力，t为比赛时间；x(t)，y(t)分别为甲、乙两方t时刻的实力；正实数a，b分别为甲对乙、乙对甲的比赛效果系数．规定当甲、乙两方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为T.则下列结论正确的是( )A．若X0>Y0且a＝b，则x(t)>y(t)(0≤t≤T)B．若X0>Y0且a＝b，则T＝eq\f(1,a)lneq\r(\f(X0＋Y0,X0－Y0))C．若eq\f(X0,Y0)>eq\f(b,a)，则甲方比赛胜利D．若eq\f(X0,Y0)>eq\r(\f(b,a))，则甲方比赛胜利三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A在y轴上，线段AF的延长线交C于点B，若|AF|＝|FB|＝6，则p＝________．13．一个袋子中有n(n∈N*)个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为P(n)，则P(n)的最大值为________．14．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cosA(b－acosC)＝eq\r(3)ccosC－asinAsinC，b2＋a2＝c2＋6，则△ABC的面积为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2(b2－a2)＋c2＝0.(1)求eq\f(sinAcosB,cosAsinB)的值；(2)求A－B的最大值．16．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝eq\f(n（1＋an）,2)，a1，a2，a5依次成等比数列(公比不等于1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝eq\f(（－1）n＋1n,anan＋1)，{bn}的前n项和为Tn，求Tn.17.如图，四棱台ABCD－A1B1C1D1的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，侧棱CC1上点E满足eq\f(C1E,C1C)＝eq\f(1,3).(1)证明：A1B∥平面AD1E；(2)若CC1⊥平面ABCD，且CC1＝3，求直线BB1与平面AD1E所成角的正弦值．18．已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1，A为C的上顶点，过A的直线l与C交于另一点B，与x轴交于点D，点O为坐标原点．(1)若|AB|＝eq\f(\r(15),2)，求l的方程；(2)已知P为AB的中点，y轴上是否存在定点Q，使得eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(DQ,\s\up6(→))＝0？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．19．已知函数f(x)＝sin2x＋ax2.(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，不等式sin(2cosx)＋a2x2≥af(x)恒成立，求实数a的取值范围．