高三数学开学摸底考02（新高考专用）（答案及评分标准）

2024届高三下学期开学摸底考02（新高考专用）参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678ABCBCBDB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9101112ACDACDBDACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．14．15．①②④16．/四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．（10分）（1）在中，令得．因为，所以．……..1分由，得3），……..2分将两式作差并整理，得，所以数列是等差数列．……..4分设数列的公差为，则．故．……..5分（2）由（1）知，……..7分设数列的前项和为，则．……..10分18．（12分）（1）方法1：由为中点得，则，……..1分即，则，故，……..3分由余弦定理得，故，……..5分易知，所以．……..6分方法2：在中，由余弦定理得，……..1分在中，由余弦定理得，……..2分由，则，……..3分即，故，……..4分又，所以，即，由余弦定理得．……..6分（2）由且，得，……..9分由正弦定理得，故，……..10分又，所以的面积为．……..12分19．（12分）（1）连接，由于四边形是菱形，，……..2分所以三角形是等边三角形，而是的中点，所以，……..2分由于，平面，所以平面，由于平面，所以，……..4分由于四边形是菱形，，所以三角形是等边三角形，所以.……..5分由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则，故可设，所以，由于平面，所以平面.……..9分（2），设直线与平面所成角为，则.……..12分20．（12分）（1）由题意，，故y与x具有较强的线性相关关系.……..4分（2）由题意，因为每门科目考试是否通过相互独立，故张无忌通过A岗位的3门笔试门数的数学期望为，……..6分通过B岗位的3门笔试门数的数学期望为，……..8分故若张无忌更有希望通过A岗位的笔试，则，又，解得.即的取值范围……..12分21．（12分）（1）在中，令，得，令，得，因为直线过的左顶点与上顶点，所以．……..2分因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，所以，得，则，所以椭圆的标准方程为．……..4分（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由可得，则，即，，，则，．……..6分由可得，故，即，即，即，即，等式两边同乘以3可得，故，得，所以或．……..8分当时，直线的方程为，直线过点，不符合题意；（根据可知直线不过点）当时，直线的方程为，直线过定点．……..10分当直线的斜率不存在时，设其方程为（，且），则可令，，由得，即，解得或（舍去），此时直线的方程为，显然也过点，由可得点在以为直径的圆上，圆心为的中点，半径为，故点M在定圆上．……..12分22．（12分）（1）当时，，，……..1分，，……..2分根据导数的几何意义可知，的图象在点处的切线方程为；……..4分（2），令，即，整理为：，……..5分设，即，则，化简为，，设，，令，得，，当，，单调递减，当，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，，……..7分若函数有2个零点，即函数有2个零点，所以，得，，则，则在区间有1个零点，，……..8分设，,，设，，所以在上单调递增，，则在上单调递增，……..10分，即，则，根据函数大单调性可知，在区间有1个零点，所以函数有2个零点，则的取值范围是.……..12分